实验三 用双线性变换法设计IIR 滤波器一、实验目的1、了解两种工程上最常用的变换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。
2、掌握双线性变换法设计IIR 滤波器的原理及具体设计方法，熟悉双线性法设计低通、带通和高通IIR 滤波器的计算机程序。
3、观察用双线性变换法设计的滤波器的品与特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。
4、熟悉用双线性变换法涉及数字Butterworth 和Chebyshev 滤波器的全过程。
5、了解多项式呈几何多项式乘方运算的计算机变成方法。
二、实验原理与方法从模拟滤波器设计IIR 数字滤波器具有四种方法：微分—差分变换法、脉冲响应不变法、双线性变换法、匹配Z 变换法：在工程上常用的是其中两种：脉冲响应不变法、双线性变换法。
脉冲响应不变法需要经历如下步骤：由已知系统传输函数)(s H 计算系统冲激响应)(t h ：对)(t h 进行等间隔取样得到)()(nT h t h =,由)(t h 获得数字滤波器的系统响应)(z H 。
这种方法非常直观，其算法宗旨是保证所设计的IIR 滤波器的脉冲响应和响应模拟滤波器的冲激响应在采样个点上完全一致。
而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。
脉冲响应不变法一个重要的特点是频率坐标的变换式现行的，其缺点是有频谱的周期延拓效应，存在频谱混淆的现象。
为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混淆，提出了双线性变换法，它依靠双线性变换式：ss z z z s -+=+-=--11,1111 其中，jwre z j s =Ω+=,σ 建立起s 平面和z 平面的单值映射关系，数字频域和模拟频域之间的关系：Ω==Ωarctg w w tg 2),2( （3—1）由上面的关系式可知,当∞>-Ω时，w 中止在折叠频率π=w 处，整个Ωj 周单值的对应于单位圆的一周。
因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，不存在频谱混淆的问题。
从式（3—1）还可以看出，两者的频率不是线性关系。
这种非线性关系似的通带截止频率、过渡带的边缘频率的相对位置都发生了非线性畸变。
这种频率的畸变可以通过预畸来矫正。
用双线性变换法设计数字滤波器时，一般总是先将数字滤波器的各临界频率经过式（3—1）的频率预畸，球的响应参考模拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传递参数，最后通过双线性变换式求得数字滤波器的传递函数。
这样通过双线性变换，正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上。
参考模拟滤波器的设计，可以按照一般模拟滤波器的设计方法，利用已经成熟的一整套计算公式和大量的归一化设计表格和曲线，这些公式、表格主要是用于归一化低通原型的。
通过原型变换，可以完成实际的低通、带通和高通滤波器的设计。
在用双线性变换法设计滤波器的过程中，我们业可以通过原型变换，直接求得归一化参考模拟滤波器原型参数，从而使得设计更加简化。
下表是IIR 低通、带通、高通滤波器设计双线性原型变换公式的总结。
在本实验中，我们只涉及Butterworth 和Chebyshev 种滤波器的设计，相应的这两种参考滤波器的设计公式如下表综上所述，以巴特沃斯低通数字滤波器设计为例，可以将双向法设计滤波器的步骤归纳如下：1、确定数字滤波器的性能指标。
这些指标包括：通带、阻带临界频率p f 、s f ；通带内的最大衰减p α；阻带内的最小衰减s α；采样周期T 。
2、确定相应的数字频率，T f T f s s p p πωπω2,2==。
3、计算经过频率预畸的相应参考模拟低通原型的频率)2(),2(ss pp tg tg ωω=Ω=Ω。
4、计算低通原型阶数N ，计算3db 归一化频率c Ω，从而求得低通原型的传递函数)(s H a 。
5、用上表中所列变换公式1111--+-=z z s ，代入)(s H a ，求得数字滤波器传递函数)(z H =1111|)(--+-=z z s a s H 。
6、分析滤波器频域特性，检查其指标是否满足要求。
三、实验内容及步骤（一）编制实验用主程序及子程序1、实验前复习数字信号处理课程中滤波器设计有关内容的知识，认真阅读本实验的原理部分，读懂滤波器相关算法。
2、编制一个双线性变换法设计IIR 数字Butterworth 和Chebyshev 滤波器的通用程序。
采样周期、通带和阻带临界频率以及相应的衰减等参数在程序运行时输入；根据这些输入参数，计算阶数N 、传递函数)(s H a ；输出)(s H a 分子分母系数；绘制)(jwe H 幅频特性曲线，绘制点数为50，（0—π）。
（二）上机实验内容 1、采样频率为1HZ ，设计一个Chebyshev 高通数字滤波器其中通带临界频率fp=0.3HZ,通带内衰减小于0.8db(p α=0.8db),阻带临界频率fs=0.2HZ,阻带内衰减大于20db(s α=20db)。
求这个数字滤波器的传递函数H(z)，输出它的幅频特性，观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。
高通数字滤波器的设计f=1 fp=3/10; fs=2/10; Rp=0.8; Rs=20; [n,Wn]=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs); [b,a]=cheby1(n,Rp,Wn,'high'); freqz(b,a,512,1)[n,Wn]=cheb1ord(0.3,0.2,0.8,20) n =4Wn=0.3000[b,a]=cheby1(n,1,Wn)b =0.0084 0.0335 0.0502 0.0335 0.0084a = 1.0000 -2.3741 2.7057 -1.5917 0.4103>> freqz(b,a,512,1);2、采样频率为1HZ ，设计一个数字低通滤波器，要求其通带临界频率fp=0.2HZ ，通带内衰减小于1db(db p 1=α),阻带临界频率fs=0.3HZ,阻带内衰减25db(db s 25=α)。
求这个数字滤波器的传递函数H(z)，输出它的幅频特性曲线。
低通数字滤波器的设计f=1 fp=2/10; fs=3/10; Rp=1; Rs=25; [n,Wn]=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs); [b,a]=cheby1(n,Rp,Wn); freqz(b,a,512,1) b,a,n,Wn[n,Wn]=cheb1ord(0.2,0.3,1,25) n =5 Wn =0.2000>> [b,a]=cheby1(n,1,Wn)b= 0.0003 0.0015 0.0029 0.0029 0.0015 0.0003a =1.0000 -3.9634 6.6990 -5.9815 2.8111 -0.5558>> freqz(b,a,512,1);3、设计butterworth 带通数字滤波器，其上下边带1db 处的通带临界频率分别为20kHz 和30kHz(fp1=20kHz,fp2=30kHz,db p 1=α)，当频率低于15kHz 时，衰减要大于40db(fs=15kHz,db s 40=α),采样周期为10s μ，求这个数字滤波器的传递函数H(z)，输出它的幅频特性曲线，观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。
带通数字滤波器的设计f=10^5; fs=[15000,35000]; fp=[20000,30000]; Rs=40; Rp=1; [n,Wn]=buttord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs); [b,a]=butter(n,Wn); freqz(b,a,512,1); b,a,n,Wnb = 0.0002 0 -0.0014 0 0.0042 0 -0.0071 00.0071 0 -0.0042 0 0.0014 0 -0.0002a =1.0000 0.0000 3.7738 -0.0000 6.5614 -0.0000 6.6518 -0.00004.2030 -0.0000 1.6437 -0.0000 0.3666 -0.0000 0.0359n = 7Wn =0.3854 0.6146四．思考题1.双线性变换和脉冲响应不变法相比较，有哪些优点和缺点？为什么？答：双线性变换比起脉冲响应不变法来，其主要优点是s平面与z平面式单值的一一对应关系。
整个jΩ轴是单值的对应于单位圆一周，即Ω=tg(。
当Ω→时，ω终止于折叠频率ω=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。
但双线性不换法的优点是靠频谱的严重非线性关系而得到的，这种Ω与ω的非线性关系使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变。
例如，如果模拟滤波器是最平延迟滤波器，它的相位与频率是直线关系。
但是，通过双线性变换后，所得的数字滤波器就不再保持相位与频率的直线关系了，因而这个数字滤波器也就不再是一个最平延迟特性的滤波器。
但因为大多数的2. 双线性变换是一种非线性变换，在实验中你观察到这种非线性关系了吗？应该怎样从哪种数字滤波器幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系？答：观察到了这种非线性关系。
我们知道双线性变换是靠频率的严重非线性关系得到的，这种Ω与 的非线性关系使得数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变。
例如，如果模拟滤波器是最平时延滤波器，它的相位与频率是直线关系。
但是通过双线性变换所得到的数字滤波器就不再保持相位与频率的直线关系了，因而这个数字滤波器也就不再是一个最平时延特性的滤波器了！实验总结：1.通过实验充分掌握了脉冲响应不变法和双线性变换法，并且通过比较明白了二者之间的区别和优缺点。
2.并且运用双线性变换法设计了IIR滤波器，熟悉了双线性变换法对低通，带通，高通滤波器的设计方法。