高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k技巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(5)nn nn 21121)12(21--=-(8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n>算数平均数可证）122a b+<⇔>⇔>≥(3)2n n ≥=>易知恒成立，当2)>≥恒成立。

例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:nn 412141361161412-<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn Λ(3)再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ解析:一方面:35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk Λ另一方面 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=Λ212,求证:23321<++++nT T T T Λ.解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=ΛΛ所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T ΛΛ 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++Λ.ln 2ln 3ln 4ln 3111(31)()2343233n n n n++++<--+++L L所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n αααααααΛ解析:构造函数后即可证明②2113133332(+1)xn n n n n x ee n n n -+<∴>>+⇒=⋅⋅>⋅⋅Q例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。

于是nn n n n a a 211ln ln 21++≤-+，.22112211)21(111ln ln )211()ln (ln 11211111<--=--+-≤-⇒++≤---=+-=∑∑n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩：⇒-+-+≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n ⇒+-+≤++)1)()1(11(11n n a n n a .)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x 上恒成立. (I)求证：函数),0()()(+∞=在xx f x g 上是增函数；(II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证：).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++Λ解析:(I)0)()(')('2>-=x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在xx f x g 上是增函数 (II)因为),0()()(+∞=在xx f x g 上是增函数,所以 )()()()(212111212111x x f x x x x f x x x x f x x f +⋅+<⇒++< )()()()(212122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +⋅+<⇒++<两式相加后可以得到)()()(2121x x f x f x f +<+ (3) )()()()(212111212111n nn n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++<ΛΛΛΛ )()()()(212122212122n nn n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++<ΛΛΛΛ…… )()()()(21212121n nn n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++<ΛΛΛΛ相加后可以得到:)()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++ΛΛ所以)ln()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ΛΛΛ 令2)1(1n x n +=,有<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-22222222)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21n n Λ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++2222222)1(13121ln )1(1413121n n ΛΛ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯+⨯⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++<n n n )1(1231121ln )1(13121222ΛΛ )2)(1(2212111++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<n n n n n所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n nn n ∈++>++++++Λ(方法二)⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>++21114ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(222n n n n n n n n n 所以)2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++n n n n n Λ 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n nn n ∈++>++++++Λ例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+->.2021,0)(,ln1)ln(1ln )(.0),ln()(ln )(,ln )(k x kx k k x x k x x g xk x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <<⇒>--⇒>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令ΘΘ∴函数kkx g ,2[)(在）上单调递增，在]2,0(k 上单调递减. ∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(k g x g ≥而,2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+=,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k +=.2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a m a m b a b记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ和121)211()611)(411)(211(+<+---n nΛ也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n nΛΛ和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ΛΛ解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n nΛ=+⋅⋅n n 212674523Λ)12(212654321+⋅-⋅⋅n nn Λ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n Λ即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ 例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ 解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n ΛΛ (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ΛΛ (加2)相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n ΛΛΛ 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ四、分类放缩例21.求证:212131211nn>-++++Λ 解析: +++++++++>-++++ΛΛ)21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(n n n n n n n>-+=-+++Λ例22. 在平面直角坐标系xoy 中,y 轴正半轴上的点列{}nA 与曲线x y 2=（x ≥0）上的点列{}n B 满足nOB OA nn 1==，直线n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n .(1)证明n a >1+n a >4，*∈N n ; (2)证明有*∈N n 0，使得对0n n >∀都有n n n n b b b b b b b b 112312+-++++Λ<2008-n .解析:(1)依题设有：(()10,,,0n n nn A B b b n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由1n OB n=得：2*212,1,n n n b b b n N n +=∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足()()11000n n a b n n ⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎭⎝⎭n a 22221210,2n n n nn b n b b n b =->+=Q(2211212n n n n n b a b n b n b +∴=+-1n a。