[陈书2-8]容器中盛有密度不同的两种液体,问测压管A 及测压管B 的液面是否和容器中的液面O-O 齐平?为什么?若不齐平,则A 、B 测压管液面哪个高?
[解]依题意,容器内液体静止。
测压管A 与上层流体连通,且上层流体和测压管A 均与大气连通,故A 测压管的液面与液面O-O 齐平。
测压管B 与上下层流体连通,其根部的压强为:
a p gh gh p ++=2211ρρ
其中1h 为上层液体的厚度,2h 为液体分界面到B 管根部的垂向距离,a p 为大气压 因测压管B 与大气连通,其根部的压强又可表示为:
a p gh p +=2ρ
其中h 为B 管内气液界面到B 管根部的垂向距离 所以:gh gh gh 22211ρρρ=
+
212
1
22211h h h h h +=+=
ρρρρρ
由此可知:若21ρρ<,B 测压管的液面低于A 测压管的液面和O-O 面;若21ρρ>,B 测
压管的液面高A 测压管的液面和O-O 面;若21ρρ=,A 、B 测压管的液面和O-O 面三者平
齐。
又因为密度为1ρ的液体稳定在上层,故21ρρ<。
[陈书2-12]容器中有密度为1ρ和2ρ的两种液体,试绘出AB 面上的压强分布图。
[解]令上、下层液体的厚度分别为1h 和2h ,取垂直向下的方向为z 轴的正方向,并将原点设在自由表面上,可写出AB 表面上压强的表达式:
()⎩⎨⎧+≤<-++≤≤+=21121111 0
h h z h h z g gh p h z gz p p a
a ρρρ
整理得:
()⎩⎨⎧+≤<+-+≤≤+=211212111
h h z h gz gh p h z gz p p a a ρρρρ
A
C
B
P 012P g AC g BC
ρρ++01P g AC
ρ+/h m
/P Pa
[陈书2-24]直径D=1.2m ,L=2.5的油罐车,内装密度3
900m kg =ρ的石油,油面高度为h=1m ,以2
2s m a =的加速度水平运动。
试确定油罐车侧盖 A 和B 上所受到的油液的作用
力。
[解]取x 坐标水平向右,y 坐标垂直纸面向内,z 坐标垂直向上,原点定在油罐的中轴线上。
油液受到的体积力为:
a f x -= 0=y f g f z -=
由欧拉方程积分可得:gz ax p p C ρρ--=
根据题意及所选的坐标系,当h z x ==,0时,a p p = 故:gh p p C a ρ-=
gh p p a C ρ+=
所以:()ax z h g p p a ρρ--+=
因大气压的总体作用为零,故上式中可令0=a p 于是:()ax z h g p ρρ--=
左侧盖形心的坐标:0,2
=-
=z L
x 故该处的压强:2
L
a gh p L ρρ+=
左侧盖所受油液的作用力:N D p F L L 7.125234
2
==π(取2m 81.9=g ) 右侧盖形心的坐标:0,2
==
z L
x 故该处的压强:2
L
a gh p R ρρ-=
左侧盖所受油液的作用力:N D p F R R 1.74394
2
==π(取2m 81.9=g )
[陈书2-26]盛有水的圆筒形容器以角速度ω绕垂直轴作等速旋转,设原静水深为h ,容器半径为R ,试求当ω超过多少时可露出筒底?
解:非惯性坐标系中相对静止流体满足欧拉方程:()Zdz Ydy Xdx dp ++=ρ 等速旋转时液体所受的质量力为:
θωcos 2r X =,θωsin 2r Y =,g Z -=
将其代入欧拉方程,积分得:
C gz r p +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2221ωρ
自由表面中心处r=0,a p p =(大气压),再令此处的z 坐标为:C z (令筒底处z=0),代入上式,得:
C gz p C a +-=ρ
所以:C a gz p C ρ+=
所以:C a gz p gz r p ρωρ++⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2
22
1
等压面的方程:
gz r gz p p C
a -=--222
1
ωρ
ρ 对于自由表面:a p p =,故自由表面的方程为:
gz r gz C
-=-222
1
ωρ
ρ 当筒底刚好露出时,0=C z ,所以自由面方程为:
2
221r g
z ω=
自由面与筒壁相交处的垂向坐标:2
221R g
H ω= 旋转后的水体体积:
4
2424222222422
2222
2
20
2244221212212R g
R g R g R g R g g R g
H g R g R dz gz
h R dz r H R V H
H ωπωπωπωωωπωπ
ω
πωπωπ
πππ=-=-
=
-=-=-=⎰⎰
将水视为不可压缩流体,根据质量守恒,旋转前后的水体体积应相等,所以:
h R R g
V 2424πωπ
==
所以:gh R
2
=
ω
[陈书2-39]在由贮水池引出的直径D=0.5m 的圆管中安装一蝶阀,h=10m ,蝶阀是一个与管道直径相同的圆板,它能绕通过中心的水平轴回转。
为不使该阀自行转动,问所需施加的力矩应为多大?
[解]将阀门的圆心定为坐标原点,z 轴垂直向上,则压强分布为:
()z h g p -=ρ
由于静水压导致阀门所受的总力矩为:
()⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
----
-----=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-==2
2
2242
2
242
2
3
32
2
224
2
2
2
3
2
2
232
2
222
2cos sin 2cos sin 23cos 2cos sin 2cos sin 2cos sin sin 22ππππππππ
ππππθ
θθρθθθρθρθ
θθρθθθρθθθθρd gR d gR h gR d gR
d h gR d R h gR dz z R pz pzdA M R R R R
()14cos 8
1
162422cos sin 442
222
2
2
2-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=----θθθσ
θσ
θσθσθi i i i i i i i e e e e e e e e
所以:()()m
N gR gR d gR d gR M .08.3044sin 414114cos 4
1
14cos 81242
24242
4==⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫
⎝⎛--=--=--=---⎰⎰
ρππθρθθρθθρππππππ
[陈书2-43]图示一储水设备,在C 点测得绝对压强为Pa 29430=p ,h=2m ,R=1m 。
求半球曲面AB 所受到液体的作用力。
[解]建立如图所示的坐标系,其中坐标原点取在球心,z 轴垂直向上。
以C 为参考点,容器内任意点的压强可表达为:
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
-=2h z g p p C ρ
作用在曲面AB 上任意点处的压强均与表面垂直,即压力的作用线通过球心。
简单分析可知,曲面上水平方向的液体合压力为零,液体的曲面的总作用力仅体现在垂直方向,且合力方向向上,且合力作用线通过球心。
球面的外法线方向:
()
k j i n
θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos =
其中θ为纬度角,ϕ为经度角。
曲面AB 上的垂向总液体压力:
⎰
=2
2πθπrRd pn F z z
其中:θsin =z n ,θcos R r =
所以:⎰
=2
2
cos sin 2πθθθπd p R
F z
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2020202202022
2cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin 22ππππππθθθρθθθρθθθπθθθρθθθπθθθρπd h g d z g d p R d h z g d p R d h z g p R F C C C
z 将θsin R z =和2
1
cos sin 20=⎰πθθθd 代入上式,得:
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪
⎭⎫
⎝⎛--=⎰⎰gh gR p R gh gR p R gh d gR p R gh d gR p R F C C C C z ρρπρρπρθθθρπρθθθρπππ2132413121241cos sin 21241cos sin 212220222022
将Pa 29430=C p ,h=2m ,R=1m ,3m kg 1000=ρ和2
m 81.9=g 代入,得:
N 6.41102=z F。