解分式方程的特殊方法与技巧分式方程意义及解法一、内容综述:1(解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程(即分式方程整式方程2(解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程(但要注意，可能会产生增根。
所以，必须验根。
产生增根的原因:当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解(检验根的方法:(1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。
(2)为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根;如果使公分母等于0，就是原方程的增根。
必须舍去( 注意:增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0(用去分母法解分式方程的一般步骤:(i)去分母，将分式方程转化为整式方程;(ii)解所得的整式方程;(iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决(辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法(换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程(用换元法解分式方程的一般步骤:(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值;(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值;(iv)检验做答(注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。
它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。
(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。
(3)无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。
二、例题精析:例1(解分式方程:。
分析:解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。
解:方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得x+4-x=2(x+2)+x(x+2)2 整理后，得x+4x=0解这个方程，得x=0, x=-4, 12代入公分母检验:当x=0时，x(x+2)=0×(0+2)=0, ? x=0是增根; 1当x=-4时，x(x+2)=-4×(-4+2)?0, ? x=-4是原方程的根。
2-4。
故原方程的根是x=例2(解方程:。
分析:本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来(用拆分分式的方法)， ;考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。
解:即，移项，整理，得，即，亦即去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7. 经检验，x=7是原方程的根。
? 原方程的根是x=7。
例3(解方程。
解法1:方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得22 (x+3)(x+5)(x+2)-(x+4)(x+2)(x+3)2 =(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)(x+4)(x+5)即4x+14=0, ? ，经检验知是原方程的解。
解法2:方程两边分别通分，得，即，? (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)解得。
解法3:利用拆分分式的方法将原来的方程变形。
原方程可化为即:，两边分别通分，得，解之，得。
例4(解方程。
2 解:设，则原方程变形为y-5y+6=0, 解得y=2, y=3, 12由=2，解得x=4; 1由，解得x=3. 2经检验x=4, x=3，都是原方程的根。
12例5(用换元法解方程.2 解:设2x+3x=y，于是原方程变为 , 2 整理，得y-4y-5=0解得y=5, y=-1. 122 当y=5时，即2x+3x=5,解得x=1, , 12 当y=-1时，2x+3x=-1，解得x=-1, , 3经检验，都是原方程的根。
? 原方程的根为。
例6(解方程。
分析:利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。
解:设，所以原方程变形为:y+=7,2 整理得:y-7y+10=0解得y=2, y=5， 12当y=2时，即， 1?x=0, x=2; 12当y=5时，， 22 即x-5x+9=0 (Δ<0，此方程无实根)经检验，x=0, x=2是原方程的解。
12例7(解方程.分析:此方程初看起来容易把，，而实际上，所以 .但是,就是说原方程可变形为, 变形后才可用换元法解此方程。
解:原方程可化为即,2 设, 则原方程可化为:2y-3y-5=0解得y=-1, y=, 12当y=-1时，,2 去分母整理，得x+x+1=0解这个方程，?Δ<0, ? 方程无解。
2 当y= 时，, 去分母整理，得2x-5x+2=0解得x=2, , 1经检验，x=2, 都是原方程的根。
1? 原方程的根是x=2, 。
1。
注意:切勿把例8(若分式方程有增根x=2，求a的值。
分析:将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a。
解:原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0, a=-,?当 a=-时, x=2是原分式方程的增根。
测试选择题1(方程x- =2-的根的情况是( )A、只有一解x=2B、任意实数都是解C、无解D、解为x?22(用换元法解方程 + =，下列变形正确的是( )2 A、设=y，原方程变形为y+ = ，去分母得2y+5y+2=02=y，原方程变形为y+ -1=，去分母得2y-7y+2=0 B、设2 C、设=y，原方程变形为 + = ，去分母得y-5y+3=02 D、设 =y，原方程变形为 + =，去分母得y-5y+6=02 3(如果设y= -5，则对于方程( -5)+-13=0，下面变形正确的是( ) 22 A、y-2y-8=0 B、y+2y-3=022 C、y+2y-13=0 D、y-2y-23=04(若x=1是方程的增根，则m的值为(c )A、1B、 -1C、-3D、35(方程会产生增根,则a的值为(c )A、1B、-2C、1或-2D、以上都不对。
6(方程=0的根是( )A、-1B、2C、-1或2D、1或-27(使分式方程产生增根的k的值是( )A、0B、0或2C、1D、28(用换元法解方程 , 设，则方程变形为( )。
22 A、6y+5y-38=0 B、6y+5y-40=022 C、6y+5y-26=0 D、6y+5y-50=09(方程的根为( )A、x=2B、x=C、x=3D、x=-5,或x=310(某项工程，甲独做需a天，乙独做需b天，甲、乙合做完成任务需要的天数是( )。
A、 B、 C、a+b D、答案与解析答案:1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、A 8、D 9、D 10、D解析:1、答案:选C。
移项，整理得x=2，但当x=2时，分母x-2=0，则x=2为增根，原方程无解。
2、答案:2(选D。
3、答案:选B。
原方程整理得:，2 设原方程变为:y+2y-3=0。
4(答案:选C。
原方程两边乘以(x-1)(x-2)得:222 x-4+x+2x-3=m即: 2x+2x-7-m=02 则x=1是方程2x+2x-7-m=0的根，代入x=1得:? 2+2-7-m=0, m=-3.5.答案:选C。
2 两边乘以x(x-1) 得x+2x-2-a=0,2 若原方程有增根，则有增根x=1或x=0，而x=1或x=0是整式方程x+2x-2-a=0的两根，将x=1或x=0代入整式方程得a=1或a=-2，选C。
6(答案:选B。
由，去分母得(x+1)(x-2)=0 得x=-1或x=2，经检验，x=-1是增根，则原方程的根为x=2。
7(答案:选A。
分式方程的增根为x=2或x=-2，而x=2或x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。
2222 原方程两边乘以(x-2)(x+2)得x-2x-x+4=kx+2k22 整理得:(k+2)x=4-2k,? ,则:，解得:k=0.8(答案:选D。
分析:原方程变形为，则原方程变形为226(y-2)+5y-38=0，整理得:6y+5y-50=0.9(答案:选D。
222 方程两边乘以x-4 得15=2x+4+x-4 即:x+2x-15=0,解得:x=-5或x=3，经检验，x=-5或x=3都是原方程的根。
1210(答案:选D。
整个工程看成整体1，则甲，乙的工作效率分别为，则合作工作效率为，则甲，乙合作用的时间为。
中考解析分式方程考点讲解1(解分式方程的基本思想方法是:把分式方程通过去分母或换元转化成整式方程，然后用解整式方程的方法去求解，但在转化过程中，可能会使分式方程增根，所以最后一定要验根。
2(去分母法解分式方程的步骤:(1)去分母，即方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母，得到一个整式方程;(2)解这个整式方程;(3)验根。
3(用换元法解分式方程的步骤:(1)根据分式方程中的特点设某一分式为另一未知字母;(2)写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程;(3)解换元所得新方程，求得未知字母的值;(4)把新未知字母值代入第一步所设的分式，求得原方程未知数的值;(5)验根。
4(分式方程验根的方法:(1)将解得整式方程的根代入原方程，使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的根，否则是增根;(2)将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于0，就是原方程的根，反之则为增根。
考题评析1((甘肃省)一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生的人数是()(A)8 (B)10 (C)12 (D)30考点:分式方程的应用评析:该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系，本题的等量关系有两个:一个是人数变化，前后的总费用不变，二是增加2人后，每人少分摊3元。
根据条件，依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题,设原来这组学生的人数x人，所以列方程为:，解得x=8,经检验x=8是原方程的根。
答案:A说明:所列方程是一个分式方程，求出结果后必须检验。
2((杭州市)(本题8分)解方程:考点:分式方程的解法评析思路:此题可用去分母、化分式方程为整式方程的方法，来解此方程注一定要检验。