k n k
n
n k
k 0.1,...n
n! k nk E ( ) k p (1 p) k !(n k )! k 0
n! p k (1 p)n k k 1 (k 1)!( n k )! n (n 1)! np p k 1 (1 p)(n1)( k 1) k 1 (k 1)!( n k )!
k
k
nk
, ( k 0,1,..., n)
(1.16)
(P79)定义４.1
如果随机变量ξ有概率函数，
k k nk
Pk =P{ k} C n p q
其中0<P<1,q=1-p,
, ( k 0,1,..., n)
(4.1)
则称ξ服从参数为n,p的二项分布。记作ξ~B（n,p)
P{ξ=k}的值恰好是二项式（q+px)n展开式中第 k+1项xk的系数。 ξ的分布函数为:
kn ! p k (1 p)n k k 1 ( k 1)!( n k )!
(k 1 1)n ! k p (1 p)n k k 1 ( k 1)!( n k )!
n
n
(k 1 1)n ! k p (1 p)n k k 1 ( k 1)!( n k )!
第四章几种重要的分布
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 二项分布 超几何分布（了解） 普哇松分布 指数分布 Γ-分布（不讲） 正态分布
4.1二项分布
主要内容： （一）随机变量ξ的分布律 （二）二项分布的期望和方差 （三）二项分布的最可能值
（一）随机变量ξ的分布律
贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布(p26) 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称
k n-k F(x)= Ck P q n kx
(4.2)
事件Ａ至多出现m次的概率是
P{0 m}= C P q
k n k k=0
m
n-k
事件Ａ出现次数不小于l不大于m的概率是
P{l m}= C P q
k n k k=l
m
n-k
例.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交 通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是 1/3. (1)设ξ为汽车行驶途中遇到的红灯数,求ξ的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率. 注意：在解决这类问题时，（1）要验证是否满足贝努里 试验，如独立性；（2）由ξ的定义，分清n和p 解:(1)由题意,ξ~B(6,1/3),于是,ξ的分布律为:
,6
6
0
P 0.0002
1
2
3
0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780
例２ 10部机器各自独立工作，因修理调整等原因， 每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目ξ的分布 解：ξ服从二项分布，ξ～B(10 0.2) 可用贝努里公式计算pk。 现将计算结果列成分布表如下:
X服从(0－1)分布(两点分布)
X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 或
X
1
p
0
pk
1 p
2.(p24)定义 设将试验独立重复进行n次，每次试
验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验
为n重贝努里试验.事件A恰好发生k次的概率为
P{ k} C n p (1 p)
1 2 P{ k} C 3 3
k 6 k 6 k
k 0,1,...,6
(2) P{ 5} P{ 5} P{ 6}
13 1 2 1 C 3 3 3 729
l l n 1l 令l k 1 np Cn p (1 p ) 1 l 0 n 1
n
np
二项分布B(n, p)：
k n k
E ( ) np
n k
P{ k} C p (1 p)
2 n 2
k 0.1,...n
n! E ( ) k p k (1 p)nk k !(n k )! k 0
n
n (k 1)n ! n! k nk p (1 p) p k (1 p)nk k 1 (k 1)!( n k )! k 1 ( k 1)!( n k )! n
n n! n! k nk p (1 p) p k (1 p)nk k 2 (k 2)!(n k )! k 1 (k 1)!(n k )! n
k P{ =k}=C10 (0.2)k (1 0.2)10k
k=0,1,
7 8 9
,10
10
0
1
2
Байду номын сангаас
3
4
5
6
p
0.11 0.27 0.30 0.20 0.09 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
例３ 一批产品的废品率p=0.03，进行20次重复抽样 （有放回抽取），求出现废品的频率为０.１的概率。
l l 2 n 2 l j j 1 n 1 j n(n 1)Cn p (1 p ) nC p (1 p ) n1 2 l 0 j 0
n2
n 1
n(n 1)C
l 0
n2
l n2
p
l 2
(1 p)
5 6 5 6
例1
某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4， 求最近６天内用水量正常的天数的分布。
解 设最近六天内用水量保持正常的天数为ξ。它服从 二项分布，ξ～B(6 0.75) 用公式（4.1）计算其概率值，得到：
k P{ =k}=C6 (0.75)k (1 0.75)6k
k=0,1,
4 5
解 令ξ表示2０次重复抽取中废品出现的次数， 它服从二项分布。ξ～B(20 0.03)
2 2 18 P =0.1 =P( =2)=C20 0.03 0.97 0.0988 20
（二）二项分布的期望和方差
二项分布B(n, p)
P{ k} C p (1 p)