分式方程化简可得： 2 x 2 + 2 x + a + 4 = 0 …………………………………（2 分） 7 ① 若一元二次方程有两个相等实根，则 ∆ =0 ，解得： a = − ………（2 分） 2 ② 若分式方程有增根， 分别代入 x = 1 和 x = −1 ， 解得 a = −8 和 a = −4（4 分）
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【分析】
360°
16. 在 △ABC 中， ∠A 是最小角， ∠B 是最大角，且 2∠B = 5∠A ，则 ∠B 的最大值是________． 100° 【分析】
AF ⊥ BC 于 F ， ∠B = 22.5° ， ∠C = 60° ， 17. 如图所示， 在 △ABC 中， DE 垂直平分 AB ， BD = 6 2 ， 则 FC = ________．
A
A
D B C
B
D
F
G
F
C E
E
【分析】
过点 D 作 DG∥AE ，交 BC 于点 G ……………………………………（2 分）
∠ECF ， ∠DFG = ∠CFE ， DF = EF ，所以 △DGF≌△ECF ( A. A.S ) 因为 ∠DGF =
…………………………………………………………………………（3 分） ∠DGB …………（3 分） 则 CE = DG ；又因为 BD = CE ，所以 DB = DG ，即 ∠B = ∠ECF ，所以 ∠DGB = ∠ACB ，则 ∠B = ∠ACB ， 因为 ∠DGF = 所以 △ABC 是等腰三角形……………………………………（2 分） 23. 如图所示， △ADE 和 △ABC 都是正三角形， CD = BF ．求证：四边形 CDEF 是平行四边形．
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A
E G B
F
D
C
【分析】
= CF = DE ，………………（5 分） 因为 △ACD≌△CBF ( S . A.S ) ，所以 AD
∠ADC = ∠BFC 又因为 ∠EDC = ∠B + ∠DGB ，所以 ∠ADC = ∠BGD ， ∠BGD ，所以 ED∥FC ，…………………………………（5 分） 则 ∠BFC = 所以四边形 CDEF 是平行四边形。……………………………………（2 分）
D ． −1 或 −3
2.
如图所示，已知 AB∥CD ， AD∥BC ， BE = DF ，图中全等三角形有（）组． C ．5 A．3 B ．4 D．6
A F D
O
B
E
C
【分析】 3.
D
在 △ABC 中， AB = 4 ， AD 是 BC 边上的中线，且 AD = 3 ，则 AC 的取值范围是（） ． C 2 < AC < 7 A 1 < AC < 7 B 2 < AC < 10 D 不能确定 【分析】 B 4. 若矩形两对角线夹角中较大的一个是 120° ，且对角线长为 8 ，则矩形的面积为（） ．
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7 31 − + ( −4 ) + ( −8 ) = ………………………… 所以， 所有实数 a 的和为： （2 分） 2 2
21. 已知 a 、 b 、 c 满足
【分析】
1 1 a + 3b a − b + 4 + 3 2a − 3b + 7 + c 2 + c + = 0 ，求 的立方根． 8 4 c3 a − 由题意得： 2a − 3b + 7 = 1 c 2 + c + = 0 4
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二、填空题（每题 4 分，共 48 分） 7. 令等式
【分析】
x+3 x+3 = 成立的条件是________． 2− x 2− x −3 ≤ x < 2
8. 若一个多项式减去 x 2 − x + 1 后，除以 2 x 2 的商是 x − 2 ，则这个多项式为________． 【分析】 2 x3 − 3x 2 − x + 1 9.
A
D B
F
E C
【分析】
123°
12. 如图，已知 S△ABC = 8 ， AD 平分 ∠BAC ，且 AD ⊥ BD 于点 D ，则 S△ADC = ________
A
D B C
【分析】
4
2 2 13. 已知关于 x 的方程 x 2 − 3x + 1 = ________． 0 的两个根为 α 和 β ，则 α + β = 7 【分析】
6− 5
，y=
6+ 5
【分析】
( x + y)
2
− xy = 222 − 1 = 483 ……………………………………（6 分）
20. 对于实数 a ， 只有一个实数值 x 满足等式 和． 【分析】
x + 1 x − 1 2x + a + 2 + + = 0， 试求所有这样的实数 a 的 x −1 x +1 x2 − 1
绝密★启用前 2016 年第十五届七年级学而思综合素质测评·数学
考试时间： 90 分钟 考试科目：数学 总分： 150 分
考 生 须 知
1． 请考生务必认真填写试卷上的考生信息以方便正常通知； 2． 请将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效；考试结束后需上交答题纸．
一、选择题（每题 4 分，共 24 分） 1. 已知 x 2 − 4 与 y + 1 互为相反数，则 x + y 的值为（） ． C ． −1 或 3 A ． 1或 3 B ． 1 或 −3 【分析】 B
A E
B
D
F
C
【分析】
2 3
= CD = 2 AD ， E 是 CD 上一点， ∠ABE = 45° ， 18. 在梯形 ABCD 中， AD∥BC ， AD ⊥ CD ， BC 若 AD = 3 ，则 AE 的值等于________．
D A
E
C
B
【分析】
5
三、解答题（ 19 ， 20 ， 21 ， 22 每题 10 分； 23 ， 24 每题 12 分； 25 题 14 分． ） 19. 已知 x = ，求代数式 x 2 + xy + y 2 的值． 6+ 5 6− 5 x+ y= 22 ，xy = 1 ……………………………………………… 由题意得： （4 分） 则原式 =
14. 在平面直角坐标系中，已知点 A (1 , 1) ， B (1 , 3) ， C (2m + 1 , 5 − m) ．若以 A 、 B 、 C 为顶点的 三角形面积为 6 ，则 C 点的坐标为________． ( 7 , 2 ) 或 ( −5 , 8) 【分析】 15. 如图所示，把三角形的三个内角的两边反向延长后组成三个三角形，若得到的三角形中所有 与原三角形不成对顶角的内角和为 S3 ，则 S3 的值为________．
A 12 3 B 32
C 16 3
D 16
【分析】 5.
C
如图是 5 × 5 的正方形网格，以点 D 、 E 的两个顶点作位置不同的格点三角形，令所作的三角 形与 △ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出（）个． C 6 A 2 B 4 D 8
A C
B D E
【分析】 6.
B
三角形的三个外角中，锐角最多只能有（）个． C 3 A 1 B 2 D 4 【分析】 A
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∠C ， ∠AEF = ∠GHC ， AE = GH 因为 ∠AFE =
所以 △AEF≌△GHC ( A. A.S ) …………………………………………（4 分）
= CF = AE ………………………………………（2 分） 则 AF = GC ，即 AG
2 ________． 因式分解： ( x − 1) ( x + 3)( x + 5 ) − 9 =
【分析】
( x + 2)
2
(x
2
+ 4x − 6)
10. 六边形共有________条对角线． 9 【分析】
∠DAE = ∠EAC ，BD 、CE 分别平分 ∠ABC = ∠ACB ， 11. 如图，D 、E 是 △ABC 内两点，∠BAD = 127° ， ∠AEC = 132° ，则 ∠BFC = ________． 且相交于点 F ．如果 ∠ADB =
24. 小虎为了省钱，把家搬到了距公司 30km 的犄角旮旯．某天早晨，小虎悠闲的从家骑车去公 司．当骑到一半路程的时候，由于身体原因停车 2 分钟，然后把速度增加 5km / h ，才能准时 上班；当从公司回家时，在骑行到路程一半时，又因身体原因停车 5 分钟，问他将把速度提高 到多少，才能准时到家？（默认从家到公司与从公司到家时间相同，且初始速度相同） 【分析】 设原速度为 v ，由题意得： 30 2 15 15 = + + ，……………………………………………………（3 分） v 60 v v + 5 解得： v1 = 45 ， v2 = −50 （舍） 经检验： v = 45 是原方程的解；…………………………………………（3 分） 设速度提高到 x ，由题意得： 30 5 15 15 = + + ，………………………………………………………（3 分） 45 60 45 x 解得： x = 60 经检验： x = 60 是原方程的解；…………………………………………（3 分） 答：把速度提高到 60km / h ，才能准时到家。