二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2) 注意每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算 先化简，再运算，3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2）121+-x （3） （4）（5）1213-+-x x(6).（7）若，则x 的取值范围是 （8）若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．4.当x 为何整数时，有最小整数值，这个最小整数值为 。
5. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x6．设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
7．若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+⋅--，求m 的值． 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 9.已知ABC △的三边a b c ，，满足2|12|102422a b c a b ++--=+--，则ABC △为（ ） 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<<m B 、2≥m C 、2<mD 、2≤m二．利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤02.．已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a -3.若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ） A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤44.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=5. 当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。
6、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -7、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。
A 、0=a ； B 、1=a ； C 、0=a 或1； D 、1≤a8、化简21)2(---x x 的结果为（ ） A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2三．二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =以及混合运算法则） （一）化简与求值1.把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +2.下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101； （2）,533c b a323c b a ，4c ab，a bc a3.计算下列各题：（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）a c c b b a 53654⋅⋅ （4）24182 （5）－545321÷ （6）)(23522c ab c b a -÷4.计算（1）25051122183133++-- （2）)254414()3191(3323yy x xy y x x +-+5．已知1018222=++x x x x，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±46.211+＋321+＋431+＋…＋100991+（二）先化简，后求值： 1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1) 22y x + (2) y x x y +2.变形代入法：（1）变条件：①已知：132-=x ，求12+-x x 的值。
②.已知:x =2323,2323-+=+-y ，求3x 2－5xy +3y 2的值③已知21915-=+-+x x ，求x x +++1519 ④已知a a x 1-=，求 224242x x x x x x +-++++（2）变结论：①设 3 =a ，30 =b ，则0.9 = 。
②21,y my+=则的结果为（ ）③.已知12,12+=-=y x，求xyy x x y y x 33++++ ④若315,35-=-=+xy y x ，求yx +的值。
⑤已知5=+y x ，3=xy ，（1）求x yy x+的值 （2）求yx y x +-的值（3）同时变条件与结论 ： 已知： ，求 的值．五．关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1.估算31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 3.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a= .六．二次根式的比较大小（1）3220051和 （2）－5566-和 （3）13151517--和（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ）A. c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D.a cb >>七．实数范围内因式分解： 1. 9x 2－5y 2 2. 4x 4－4x 2＋1 3. x 4+x 2－619. 已知：1110a a+=+221a a +的值。
20. 已知：,x y 为实数，且113y x x -+-，化简：23816y y y --+21. 已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
二次根式知识点总结及应用一、基本知识点 1.二次根式的有关概念：（1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质：（1） 非负性3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 二、二次根式的应用0()a ≥0 2(2)(0)a = ≥ =(0,0)a b = ≥ ≥(00)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>1、非负性的运用例：1.已知：0+=,求x-y 的值.2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值例1有意义的x 的取值范围例2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。
3、运用数形结合，进行二次根式化简例：.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-<x x y ,化简11--y y .4、二次根式的大小比较例：设25,3223-=-=-=c ，b a ,比较a 、b 、c 的大小关系5、与二次根式有关的规律探究 例：见习题册二次根式提高测试题一、选择题1．使有意义的x 的取值范围是（ ） 2．一个自然数的算术平方根为()0a a >，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）（A ）1,1a a -+（B ）C D ）221,1a a -+3．若0x <x 等于（ ）（A ）0 （B ）2x - （C ）2x （D ）0或2x4．若0,0a b <> ）（A ）- （B ）- （C ） （D ）a5．若m=，则21y y +的结果为（ ）（A ）22m + （B ）22m - （C 2 （D 26．已知,a b b a =-，则a 与b 的大小关系是（ ） （A ）a b < （B ）a b > （C ）a b ≥ （D ）a b ≤ 7．已知下列命题：①2= 36π-=；③()()()22333a a a +-=+-； a b =+． 其中正确的有（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个8．若m 的值为（ ） （A ）203 （B ）5126 （C ）138 （D ）1589．当12a ≤时，化简21a -等于（ ）（A ）2 （B ）24a - （C ）a （D ）010．化简2得（ ）（A ）2 （B ）44x -+ （C ）2- （D ）44x -二、填空题11．若21x +的平方根是5±，则_____=．12．当_____x 时，式子4x -有意义．13．已知：最简二次根式与a 的被开方数相同，则_____a b +=．14．若x y ____x =，_____y =．15．已知=0x y <<，则满足上式的整数对(),x y 有_____．16．若11x -<<1_____x +=．17．若0xy ≠=-成立的条件是_____．18．若01x <<等于_____．三、解答题1 9．计算下列各题：（1⎛ ⎝；（2）3a20．已知())200620072222a =+-+24a a +的值 ．21．已知y x ,是实数，且329922+--+-=x x x y ，求y x 65+的值.22．若42--y x 与()212+-y x 互为相反数，求代数式32341y y x x ++的值.23．若a b S 、、满足7,S ==，求S 的最大值和最小值.第十七章 勾股定理17.1 勾股定理（1）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。