导数第一节----平均变化率一、单选题1．在平均变化率的定义中，自变量的改变量∆x 的取值范围为( ) A ．∆x >0 B ．∆x <0 C ．∆x ≠0 D ．∆x =02．已知函数y =f (x )=x 2+1，则在x =2，Δx =0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．在f′(x 0)=limΔx→∞f (x 0+Δx )−f (x 0)Δx中，Δx 不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于04．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝( ) A ．12 B ．13 C ．2 D ．3 5．质点的运动方程是s=41t (其中s 的单位为m,t 的单位为s),则质点在t=3s 时的速度为 ( ) A ．-4×3-4m/s B ．-3×3-4m/s C ．-5×3-5m/s D ．-4×3-5m/s 6．如果函数f(x)=ax+b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a= ( ) A ．-3 B ．2 C ．3 D ．-2 7．过曲线()1xy f x x==-图象上一点（2， -2）及邻近一点（2 x +∆， -2 y +∆）作割线，则当0.5x ∆=时割线的斜率为（ ） A ．13 B ．23 C ．1 D ．53- 8．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为( ) A ．f ′(x 0)＝lim△x→0f (x 0+△x )−f (x 0)△xB ．f ′(x 0)＝lim △x→0[f (x 0+△x )−f (x 0)]C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)D ．f ′(x 0)＝f (x 0+△x )−f (x 0)△x9．函数y ＝－√x 在点x ＝4处的导数是( )A ．18B ．－18C ．116D ．－11610．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A ．194 B ．174 C ．154 D ．134 11．设函数f (x)可导，则limΔx→0f (1+Δx)−f (1)3Δx 等于（ ）A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)12．一物体运动的方程是s ＝2t 2，则从2 s 到(2＋d ) s 这段时间内位移的增量为( )．13．曲线y =lnx 在点（1，0）处的切线方程为（ ）A ．y =−x +1B ．y =x −1C ．y =x +1D ．y =x 14．曲线f(x)=x 3的切线中斜率等于2的直线（ ） A ．不存在 B ．有且仅有一条 C ．有且只有两条 D ．存在，但条数不确定15．已知曲线y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2等于( ) A ．－3 B ．－1 C ．3 D ．1 16．如果曲线上一点处的切线过点，则有（ ）A ．B ．C ．D ．不存在二、填空题17．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率为________． 18．曲线y =x 2在点(−12,14)处的切线的倾斜角为______．19．函数21y x在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率为________. 20．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝________.三、解答题21．已知曲线y ＝x 3，求： (1)曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)过点P (1,0)的曲线的切线方程．参考答案1．C【解析】【分析】根据平均变化率的定义得解.【详解】由定义知∆x可正、可负但不能为零．故答案为：C【点睛】本题主要考查平均变化率的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．B【解析】【分析】计算Δy=f(2+0.1)−f(2)即得解.【详解】Δy=f(2+0.1)−f(2)=f(2.1)−f(2)=(2.12+1)−(22+1)=0.41.故答案为：B【点睛】本题主要考查函数值的增量Δy的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3．C【解析】【分析】根据导数极限的概念得到通过两个不同的点之间的斜率，来取极限得到的极限值，必须要求是不同两点.【详解】导数的极限法定义，是通过两个不同的点之间的斜率，来取极限得到的值，故必须是两个不同的点，故增量Δx可以大于0，也可以小于0，但不能等于0.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了导数的极限法的定义，f′(x0)=limΔx→∞f(x0+Δx)−f(x0)Δx，从几何上来解释是表示割线的意思，当两个点无限靠近时，割线的斜率无限接近切线的斜率. 4．D 【解析】 【分析】如果物体按s=s (t )的规律运动，那么物体在时刻t 的瞬时速度v (t )=s ′(t )，由此可得出答案。

【详解】由s ＝at 2＋1得v (t )＝s ′＝2at ， 故v (2)＝12，所以2a ·2＝12，得a ＝3. 【点睛】本题主要考察导数的物理意义。

属于基础题 5．D 【解析】由s=41t 得s′=41t ⎛⎫ ⎪⎝⎭′=(t -4)′=-4t -5, s′|t=3=-4×3-5(m/s). 故选：D 6．C【解析】根据平均变化率的定义，可知()()2321a b a b y a x +-+===-故选C 7．B【解析】()()()()0.50.50.5222212limlim lim x x x xf x f x yx x x∆→∆→∆→+∆--+∆--+∆∆===∆∆∆0.512lim13x x ∆→==+∆．故选B ．考点：导数的定义． 8．A 【解析】 【分析】根据导数的定义即可得到结论，导数的定义就是f′(x0)＝lim△x→0f(x0+△x)−f(x0)△x【详解】B中f′(x0)＝lim△x→0[f(x0+△x)−f(x0)]，右边的式子表示函数值的变化量的极限，趋近于0；C中f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D中f′(x0)＝f(x0+△x)−f(x0)△x，右边的式子表示函数的平均变化率．答案：A【点睛】本题主要考察了导数的概念和定义，熟练掌握导数定义的应用即可解答，属于基础题9．C【解析】【分析】欲求函数y=√x在x=4处的导数,先求出y的导函数,然后把x=4代入即可求出所求.【详解】令f(x)＝－√x ，则f′(4)＝lim△x→0−1√4+△x+1√4△x＝lim√4+△x2△x√4+△x＝lim2△x√4+△x(2+√4+△x)lim2(2√4+△x+4+△x)＝116.答案：C【点睛】本题考查了导数的定义与计算，要求熟练掌握求导法则，属于基础题.10．D【解析】【分析】根据位移的导数是速度，求出s的导函数即速度与时间的函数，将2代入求出物体在时刻t=2时的速度．【详解】物体的运动速度为v（t）=s′=2t−3t2所以物体在时刻t=2时的速度为v（2）=2×2−34=134故选：D．本题考查导数在物理上的应用：对物体位移求导得到物体的瞬时速度．11．C【解析】【分析】根据函数f(x)在x=x0处导数定义得到limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=13⋅f′(1).【详解】根据函数f(x)在x=x0处导数定义，f′(1)=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=3⋅limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx，∴limΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx=13⋅f′(1)，故选C.【点睛】本题主要考查导数的定义，意在考查对基本定义掌握的熟练程度，属于中档题.12．C【解析】Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.13．B【解析】【分析】根据导数的几何意义得到点（1，0）处的切线的斜率k = 1，由直线方程的点斜式可得到切线方程.【详解】∵y′=1x，∴点（1，0）处的切线的斜率k= 1,由直线方程的点斜式，得y=lnx在点（1，0）处的切线方程为y = x - 1.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.14．C【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据k=2列式求得切点的坐标，结合直线的方程求出斜率等于2的直线即得．【详解】根据题意得f′（x）=3x2，设切点（m，n）则曲线y=f（x）上点（m，n）处的切线的斜率k=3m2，∴3m2=2，m=±√6，故切点的坐标有两解．3由直线的方程可得中斜率等于2的直线有两条，故选：C．【点睛】本题考查了导数的几何意义，以及直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．15．C【解析】【分析】直接利用函数y=f(x)在点(2,1)处的切线斜率等于函数在点(2,1)处的导数值求解即可.【详解】∵函数y=f(x)在点(2,1)处的切线斜率等于函数在点(2,1)处的导数值，函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x−y−2=0平行，所以点(2,1)处的切线的斜率为3，由导数的几何意义知，∴y′|x=2=3，故选C.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及已知切线斜率求切点坐标，属于简单题.16．A【解析】由题意知切线过点，，所以.考点：求曲线切线的斜率.【解析】22(2)(2)(2)3(2)(232)f x f x x x x∆∆∆⨯∆∆＋－＋＋＋－＋＝＝Δx ＋7，当Δx →0时，Δx ＋7→7，所以，f (x )在A 处的切线的斜率为7. 18．135° 【解析】 【分析】根据题意，设切线的倾斜角为θ，求出y=x 2的导数以及y′|x=−12=2×(-12)=-1，利用导数的几何意义可得k=tanθ=1，结合θ的范围，分析可得答案． 【详解】根据题意，设切线的倾斜角为θ，曲线y=x 2，则y′=2x，则y′|x=−12=2×(-12)=-1，即k=tanθ=-1， 又由0°≤θ＜180°， 则θ=135°； 故答案为：135°． 【点睛】本题考查利用导数求出切线的方程，涉及直线的斜率与倾斜角的关系，关键是掌握导数的几何意义． 19．()022002x xx x x+∆-+∆【解析】()220011y x x x =-+ 21y x∴=在0x 到0x x +之间的平均变化率为()()220002200112x x x x xy x xx x x-++==-+故答案为()022002x xx x x+-+【解析】【分析】根据导数定义可得f′（0）=lim△x→0f(0+△x)−f(0)△x,即可得到答案.【详解】f′（0）=lim△x→0f(0+△x)−f(0)△x=lim△x→0(△x﹣3)=−3故答案为：-3【点睛】本题主要考查函数在某一点处导数的定义及其应用，理解导数定义是解题的关键. 21．（1）3x－y－2＝0；（2）3x－y－2＝0【解析】试题分析：（1）求出y的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；（2）设切点为(x0，y0)，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得x0，进而得到切线的方程.试题解析：y′＝3x2.(1)当x＝1时，y′＝3，即在点P(1,1)处的切线的斜率为3，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则过点P的切线的斜率为3x，由直线的点斜式，得切线方程y－x＝3x (x－x0)，即3x x－y－2x＝0.∵P(1,0)在切线上，∴3x－2x＝0.解之得x0＝0或x0＝.当x0＝0时，切线方程为y＝0.当x0＝时，切线方程为27x－4y－27＝0.点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别。