1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为ΔyΔx .2.求平均变化率求函数y ＝f (x )在上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx.思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：y ＝f (x )在区间上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间上越“陡峭”，反之亦然. 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB .知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它刻画函数值在某处变化的快慢.(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值. 知识点三 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 思考 (1)函数f (x )在x 0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤是什么？答案 (1)函数f (x )在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限，如果ΔyΔx 不存在极限，就说函数在点x 0处无导数.(2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤如下： ①求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③取极限，得导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率.解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx .当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9.反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx＝. 答案 2Δx ＋4解析 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率ΔyΔx ＝2Δx ＋4.(2)求函数y ＝f (x )＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0).解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20，∴Δy Δx＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 2Δx＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20.题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s).(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度.解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →03Δt －(Δt )2Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. 即物体的初速度为3 m/s. (2)v 瞬＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt ＝lim Δt →0－(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反. (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米).(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒各段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度.解 (1)当t 在区间上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米).v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒). 同理，当t 在区间上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间上时，v 3≈29.4049(米/秒)，当t 在区间上时，v 4≈29.40049(米/秒). (2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt ＝12g (6＋Δt )， lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →012g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒). 所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒. 题型三 函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数.解 Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(1＋11＋Δx )＝2， 从而y ′|x ＝1＝2.反思与感悟 求函数在x ＝x 0处的导数的步骤： (1)求函数值的增量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练3 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数；解 ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2，∴ΔyΔx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝－lim Δx →0Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.因对导数的概念理解不到位致误例4 设函数f (x )在x 0处可导，且f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值. (1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx；(2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h. 错解 (1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0). (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝12lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝12f ′(x 0). 错因分析 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式.如(1)中Δx 的改变量为Δx ＝x 0－(x 0－Δx )，(2)中Δx 的改变量为2h ＝(x 0＋h )－(x 0－h ).正解 (1)lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－lim －Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0). (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝lim 2h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝f ′(x 0).防范措施 自变量的改变量Δx 的值为变后量与变前量之差.1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( ) A.Δx ＞0 B.Δx ＜0C.Δx ≠0D.Δx 可为任意实数答案 C解析 因平均变化率为ΔyΔx，故Δx ≠0.2.沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0ΔsΔt为( ) A.从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 B.t 时刻物体的瞬时速度 C.当时间为Δt 时物体的速度D.从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率 答案 B 解析v ＝Δs Δt，而lim Δt →0ΔsΔt 则为t 时刻物体的瞬时速度. 3.函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为. 答案 12解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1，∴Δy Δx＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12. 4.设f (x )在x 0处可导，若lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝A ，则f ′(x 0)＝. 答案 13A解析 lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝3lim 3Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A .5.以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度.解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt→v 0－gt 0.∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0. 由此，类似地可得到物体运动的速度函数为 v (t )＝v 0－gt ，∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt ＝－g . ∴当Δt →0时，ΔvΔt→－g .故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy ，Δx .(2)求ΔyΔx.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs 及Δt .(2)求Δs Δt. (3)求lim Δt →0ΔsΔt . 3.利用定义求函数f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)求函数的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0).(2)求ΔyΔx .(3)y ′|0x x =＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.一、选择题1.质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间中，相应的平均速度等于( ) A.6＋ΔtB.6＋Δt ＋9ΔtC.3＋ΔtD.9＋Δt答案 A解析 因为v ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .故选A.2.设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A.f ′(x )＝a B.f ′(x 0)＝a C.f ′(x )＝b D.f ′(x 0)＝b 答案 B解析 由导数定义得f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝a .故选B. 3如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B 解析Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 4.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( ) A.－4.8m /s B.－0.88 m/s C.0.88m /s D.4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得. 5.设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A.f ′(1) B.3f ′(1) C.13f ′(1) D.f ′(3)答案 A解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1). 6.一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( ) A.1秒末 B.1秒末和2秒末 C.4秒末 D.2秒末和4秒末答案 D解析 据导数的定义，得s ′＝t 2－6t ＋8，令s ′＝0，即t 2－6t ＋8＝0. 解得t ＝2或t ＝4，故速度为零的时刻为2秒末和4秒末. 二、填空题7.已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝.答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 8.已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →011＋Δx －1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.9.如图所示，函数y ＝f (x )在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是.答案解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间，，上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是.10.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是a ＝5×105m /s 2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为m/s. 答案 800解析 运动方程为s ＝12at 2. ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴v ＝lim Δt →0Δs Δt＝at 0. 又∵a ＝5×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s).三、解答题11.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12.若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值.解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0a (Δx )2＋2a Δx Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2， ∴a ＝1.13.试比较正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率哪一个大. 解 当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sinΔx －sin0Δx ＝sinΔx Δx. 当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin (π2＋Δx )－sin π2Δx ＝cosΔx －1Δx. 由于是在x ＝0和x ＝π2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可化为正，又可化为负. 当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2.当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sinΔx Δx －cosΔx －1Δx＝sinΔx －cosΔx ＋1Δx ＝2sin (Δx －π4)＋1Δx. ∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4， ∴sin(Δx －π4)＜－22，从而有2sin(Δx －π4)＜－1， 2sin(Δx －π4)＋1＜0， ∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率.。