第3章3-1 试用直杆公式求图示圆弧型曲梁B 点水平位移。

EI 为常数。

解 由图（a ）、（b ）可知结构在单位力和荷载作用下的内力都是对称的，所以可只对一半进行积分然后乘以2来得到位移。

令内侧受拉为正，则()P P sin 0,21cos 2M R F M R θπθθ⎧=⎪⎡⎤∈⎨⎢⎥=-⎣⎦⎪⎩代入公式，得()()P P203P P 2d 2d 2sin 1cos d • 22Bx MM MM s sEI EIF F R R R R EI EIππ∆θθθ==⋅=⋅-=→∑⎰⎰⎰* 3-2 图示柱的A 端抗弯刚度为EI ，B 端为EI /2，刚度沿柱长线性变化。

试求B 端水平位移。

解 以左侧受拉为正，则[]30P 0,6M x x l q x M l ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩代入公式，得3400P001d d 630ll Bxq x q l MM s x x EI EI l EI∆==⋅⋅⋅=⎰⎰q 0习题3-2图l（b ）3-3 试求图示结构考虑弯曲变形和剪切变形的挠度曲线方程。

截面为矩形，k =。

解 令上侧受拉为正，则单位力和荷载作用下的弯矩和剪力表达式分别为[]Q 2PQP ,10,,2M x F x l ql M qlx F ql ⎧==⎪∈⎨=-=⎪⎩代入公式，得()Q QP P0024200d d 1 1.2 1.2d 1d 212ll By l l kF F MM x x EI GAql ql ql x qlx x ql x EI GA EI GA ∆=+⎛⎫=-+⋅⋅=+↓ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 习题3-3 图22ql 22ql （b ）（a ）3-4 试求图示桁架C 点竖向位移和CD 杆与CE 杆夹角的改变量。

已知各杆截面相同，A =×10-2 m 2，E =210 GP a 。

解 （1）C 点的竖向位移()()92229222465112.5kN 6m 2125kN 5m 88 21010N/m 1.510m 53262.5kN 5m 275kN 6m8821010N/m 1.510m 6.39910mC y---⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∆=⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯ （2）CD 杆与CE 杆夹角的改变量N 2N P 922252(0.15)62.5kN 5m 0.25(112.5kN )6m 21010N/m 1.510m 8.33310radCD CE F F l EA∆---=⨯-⨯⨯+⨯-⨯=⨯⨯⨯=-⨯∑N P (b)kN F 图(）N2(c)F 图3 m ×4 习题3-5 图 N1(a)F 图6-3-5 图示桁架AB杆的σ=Eσε=。

试求B点水平位移。

解本题中，AB杆的应力-应变关系不是线性的，计算时要用单位荷载法最基本的公式。

AB杆变形引起的B点水平位移)22N1N N N2220022PP22221d d41AB ABl lABABAB AB AB AB ABFF s F s F lE E AF lE A E Aσ∆ε====⨯=⎰⎰其它杆变形引起的B点水平位移N N P P2(1)()BC BC BCF F l F l F lEA EA EA∆-⨯-⨯===故，B点水平位移为2P P12224F l F lE A EA∆∆∆=+=+习题3-5 图（a）N1F图（b）N PF图3-6试用图乘法求图示结构的指定位移。

除图e 、h 标明杆件刚度外，其他各小题所示结构各杆EI 均为常数。

3-6 (a)解 将悬臂梁在K 截面切开，取左边部分，并将K 截面内力作为荷载作用在K 截面上，如图(a-1)所示。

(a-1)所示结构悬臂端的竖向位移就是原结构K 截面的竖向位移。

作出(a-1)所示结构的M p 和M 图，并将M p 图按荷载分解。

图乘结果为()2224112242328241133824217384K yql l l ql l l EI ql l l EI ql EI⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫+⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=↓(a) 求K 点竖向位移qql 2/8ql 2/4ql 2/8ql 2/8 ql 22/8 =(a-2)M P 图及其分解 (a-1)(3)a M -图3-6 (b)解()()P 23P P P12112222323223233K yl l F l l l l l l l l l EI l l l F l F l F l EI EI∆⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯⨯+⨯+=(b) 求K 点竖向位移(b 1)M -图P (b 2)M -图3-6 (c)解30 kN/m(c) 求C 铰两侧截面相对转角P (1)kN m c M -⋅图()3-6 (d) 解52432kN m 4m 232kN m 8m 38m 8m 23348.010kN m 3210m 1.07mm 3Cy ∆-⎡⋅⨯⋅⨯⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯⋅=⨯=P (d 1)kN m M -⋅图()(d 2)m M -图()3-6 (e)解0N NP 21111213m 30kN m 3m 30kN m 22223111210kN 4m 22m 30kN m 6m 2232185kN m 20kN 23Cy Ay F F lEI EAEI EI EAEI EA∆=+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯⋅+⨯⨯⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⋅=+∑(e) 求图示结构铰C 两 侧截面的相对转角P NP (e 1)(kN m)F (kN)M -⋅图图1N (e 2)(m )M F --图3-6 (f)解 （1) 相对水平位移()222422222223256A B xql l ql ql l l l lql EI EI∆-⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==（2) 相对竖向位移对称结构在对称荷载作用下的反对称位移等于零。

（3) 相对转角2230142132253A Bql ql l l Ay ql EA EI EIϕ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦===∑(f) 求A 、B 截面相对水平、 竖向位移和相对转角qqP (f 1)M -图1(f 2)M -图2(f 3)M -图/2/23-6 (g)解22224122432421221243238221148K yql l ql ll l EIql l ql l l l EIql EI∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=(g) 求K 点竖向位移P (g 2)M -图24ql M 图(g 1)-3-6 (h)解324kN m 4m 248kN m 4m 34m 4m 2334162kN m 5m 217m 4m 233272kN m 5m 127m 4m 23321985kN m C yEI EIEIEI∆⋅⨯⋅⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⋅⨯⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⋅⨯⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⋅=(h) 求C 点竖向位移P (h 1)(kN m)M -⋅图73-7试求图示结构在支座位移下的指定位移。

3-7 (a)解()()0.50.02m 10.01m 0.02m10.02m 0.0033rad6mCx Ri i C Ri i F c F c ∆ϕ=-=--⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-=--⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑(a 3)-3-7 (b)解()()()1Kx Ri i F c a l a l ∆ϕϕ=-=-⨯+⨯=--→⎡⎤⎣⎦∑(b)求K 点的水平位移3-8图示结构各杆件均为截面高度相同的矩形截面，内侧温度上升t ，外侧不变。

试求C 点的竖向位移。

线膨胀系数为α。

解()()N020.50.2521120.250.25222358C y F M t t A t A l l h l t l l l h tl ∆∆αα⎛⎫=±±=-⨯⨯+⨯⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎛⎫-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⎪⎝⎭-=∑习题3-8 图N (a)F 图(b)M 图l3-9 试求图示刚架在温度作用下产生的D 点的水平位移。

梁为高度h =0.8 m 的矩形截面梁，线膨胀系数为α=10-5 o C -1 。

解()()()()()N05133010C 3010C 110m 6m 10m 10C20.8m 2910m C y F M t A t A h ∆∆α---⎛⎫=±± ⎪⎝⎭⎡⎤--︒⎡⎤-︒⎣⎦=-⨯⨯+⨯⨯⨯︒⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⨯←∑o o C习题3-9 图3-10 图示桁架各杆温度上升t，已知线膨胀系数α。

试求由此引起的K 点竖向位移。

（画出需要的图）解N1222C y FA t d t d t ∆ααα⎛⎫=±=-+⨯⨯=-⎪⎝⎭∑习题3-10 图* 3-11图示梁截面尺寸为b ×h=0.2m ×0.6m ，EI 为常数，线膨胀系数为α，弹簧刚度系数k =48EI /l 3(l =2m)。

梁上侧温度上升10℃，下侧上升30℃，并有图示支座移动和荷载作用。

试求C 点的竖向位移。

解 （1）由荷载引起的位移1330kN m 4m 2212m 20kN m 4m 2m 233230kN m 2m 2212m 5kN m 2m 2m 233260kN m Cy EIEIEI⋅⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⋅⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∆=⋅⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯⋅⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⋅=（2）由支座位移引起的位移习题3-11 图5kN（b ）（a ）231352.5kN 0.02m 22105kN m0.01m 8C y Ri i F c k EI∆⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯--⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=-+∑（3）由温度变化引起的位移31130-102m 4m 2m 2m 220.6m 200m CC y MtA hC C ∆∆ααα=±⎛⎫⎡⎤︒︒⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭=-⋅⋅︒∑总位移为33585kN m 0.01m 200m C C y EI∆α︒⋅=--⋅⋅* 3-12 欲使图示简支梁中点的挠度为0，试问施加多大杆端弯矩M 0已知线膨胀系数为α,梁截面为矩形，截面高度为h 。