第二十四章圆24.1.2 垂直于弦的直径精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2019·广东铁一中学初三期中）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（）A．90°B．120°C．135°D．150°【答案】B【详解】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD12=OC12=OA，由此可得．在Rt△AOD中，∠OAD=30°，同理可得∠OBD=30°．在△AOB中，由内角和定理，得：∠AOB=180°﹣∠OAD﹣∠OBD=120°．故选B．【名师点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．2．（2019菏泽市期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．4【答案】B【详解】如图：EF 的中点M ，作MN⊥AD 于点M ，取MN 上的球心O ，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN 是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x ，则ON=OF ，∴OM=MN -ON=4-x ，MF=2，在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2=OF 2，即：（4-x ）2+22=x 2，解得：x=2.5，故选：B ．【名师点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．3．（2018·扬州中学教育集团树人学校初三期中）已知⊙O 的直径为，弦AB 为8cm ，P 为弦AB 上的一动点，若OP 的长度为整数，则满足条件的点P 有（ ）A ．2个B ．3个C ．5个D ．7个【答案】C【详解】解：①当点P与点A或点P重合时，OP=r=2cm；②如图所示：∵OP⊥AB，∴AP=PB=12AB=4，在Rt△OPB中，==2（cm）．综上可得OP的取值范围为：2cm≤OP≤．则OP的整数值是2，3，4．其中长度是2cm的只有当OP⊥AB时一种情况，当OP=3cm、4cm各自有2种情况．则总计有5种．故选：C．【名师点睛】本题考查了垂径定理的知识，平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，需要同学们熟练掌握．4．（2017长沙市期末）如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，若AC＝2cm，则⊙O的半径为（）A.1 cmB.2 cm cm D.4 cm【答案】C【详解】∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝12 AB．同理AE＝CE＝12 AC．∵AB＝AC，∴AD＝AE．连接OA，∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC，∴∠OEA＝∠A＝∠ODA＝90°，∴ADOE为矩形．又∵AD＝AE，∴ADOE为正方形，（cm）．故选：C．【名师点睛】考查垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．5．（2019·山东省东营市河口区义和镇中心学校初三期中）如图,圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，22.5A∠=，4OC=，则CD的长为（）A．B．4 C．D．8【答案】C【详解】∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，，∴CE=2．【名师点睛】考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．6．如图，图O半径为10cm，弓形高为4cm，则弓形的弦AB的长为（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【答案】C【详解】解：如图,过O作OD⊥AB于C,交⊙O于D,∵CD=4,OD=10,∴OC=6,又∵OB=10,∴Rt△BCO中∴AB=2BC=16.故选:C.【名师点睛】本题考查圆的弦的知识，掌握勾股定理是解题关键.7．（2018·重庆市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A B．C．D．8【答案】C【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，故选C．【名师点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键8．（2018·天津市期中）8．（2018·天津初三期中）下列说法中正确的有（）①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③一条直线平分弦，那么这条直线垂直这条弦；④平分弦的直线，必定过圆心；⑤平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】垂直于弦的直径平分弦，符合垂径定理，故①正确；在命题②中，两条直径是相互平分的，所以②是错误的；平分弦的直线不是直径一定不垂直这条弦，故③错误；平分弦的直线不是直径一定不过圆心，故命题④错误；平分弦的直径不一定平分这条弦所对的弧，因为当弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不垂直，也不平分这条弦所对的弧，故⑤错误；正确的一个，故选A.9．（2018·杭州市期中）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为( )A.6B.6√2C.8D.8√2【答案】B【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB=CD=16，∴BM=DN=8，∴OM=ON=√102-82=6，∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=√62+62=6√2．故选B．【名师点睛】本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．（2018扬州市期末）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是（）A.8πB.4πC.64πD.16π【答案】D【解析】试题解析：如图，设AB与小圆切于点C，连结OC，OB.∵AB与小圆切于点C，∴OC⊥AB，118 4.22BC AC AB∴===⨯=∵阴影的面积2222πππ().OB OC OB OC=⋅-⋅=-又∵直角△OBC中, 222.OB OC BC=+∴阴影的面积22222πππ()π16πOB OC OB OC BC=⋅-⋅=-=⋅=，故选D.二、填空题（共5小题)11．（2018春南昌市期中）如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则CD的长为__．【答案】2【详解】根据圆周角定理，∵∠A=15°，∴∠BOC＝30°，∴CE＝OC⋅sin∠BOC＝2×＝1，∵⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∴CD＝2CE＝2.【名师点睛】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，熟练掌握这些知识是解答本题的关键. 12．（2018·甘肃省武威第五中学初三期末）某排水管的截面如图，已知截面圆半径OB=10cm，水面宽AB是16cm，则截面水深CD为_____．【答案】4cm．【详解】由题意知OD⊥AB，交AB于点E，∵AB=16cm，∴BC=12AB=12×16=8cm，在Rt△OBE中，∵OB=10cm，BC=8cm，（cm），∴CD=OD-OC=10-6=4（cm）故答案为4cm．【名师点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．13．（2018春南开区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是____.【答案】【解析】试题解析：连接OC，由题意，得=-=-=，OE OA AE413==CE ED==CD CE2故答案为:14．（2018春蚌埠市期中）如图所示，⊙O的半径OA=4，∠AOB=120°，则弦AB长为____________.【答案】【详解】如图，作OC垂直弦AB于点C，∴AC=BC，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，即∠OAC=30°，又∵OA=4，∴OC=12OA=2，∴AB=2AC＝故答案为15．（2017春厦门市期中）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______．【答案】2.5【解析】连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=12CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：22+(r−1)2=r2，解得：r=2.5．三、解答题（共3小题)16．（2017春宜昌市期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在⊙O上，FD恰好经过圆心O，连接FB．（1）若∠F=∠D，求∠F的度数；（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的半径．【答案】（1）30°；（2）13.【解析】（1）∵OF=OB，∴∠B=∠F，∴∠DOB=∠B+∠F=2∠B，∵∠DOE+∠D=90°∴2∠B+∠D=90°，∵∠B=∠D，∴2∠D+∠D=90°，∴∠D=30°；（2）设⊙O的半径为r，∵AB⊥CD，∴CE=DE=12CD=12×24=12，在Rt△ODE中，OE=OB-BE=r-8，OD=r，∵OE2+DE2=OD2，∴（r-8）2+122=r2，解得r=13，∴⊙O的半径为13．17．（2018春怀化市期末）如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径．【答案】25 4【详解】如图，连接OB．∵AD是△ABC的高．∴BD= 12BC=6在Rt△ABD中，．设圆的半径是R．则OD=8﹣R．在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2解得：R= 254．【名师点睛】本题考查垂径定理以及勾股定理，解题关键是根据勾股定理转化成方程问题．18．（2017·湖北郯城红花初中初三期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？【答案】（1）r=34；（2）不需要采取紧急措施．【解析】（1）连结OA，由题意得：AD=12AB=30，OD=（r-18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r-18）2，解得，r=34；（2）连结OA′，∵OE=OP-PE=30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2-OE2，即：A′E2=342-302，解得：A′E=16．∴A′B′=32．∵A′B′=32＞30，∴不需要采取紧急措施．。