指数函数与对数函数总结
一、 [知识要点]：
x a log x 定义
图象
定义域
值域
性质
奇偶性 单
调
性
过定
点
值的分布
最值
y ＝a x
（a>0且a ≠1） 叫指数函数 a>1
（－∞，＋
∞）
（0，＋∞） 非奇 非偶 增
函数
（0，1）
即a 0
＝1
x>0时y>1；0<x<1时 0<y<1
无最值
0<a<1
减函
数
x>0时0<y<1； 0<x<1时 y>1 y ＝
a
log （a>0且a ≠1） 叫对数函数 a>1O
y x
（0，＋∞） （－
∞，＋∞）
非奇
非偶 增
函数 （1，0） 即
log a 1＝0
x>1时
y>0；
0<x<1时 y<0 无最值 0<a<1O
y x
减函数
x>1时
y<0；
0<x<1时 y>0
对称性
函数y ＝ax 与y ＝a －x （a>0且a ≠1）关于y 轴对称；函数y ＝a x 与y ＝log a x 关于y ＝x 对称
函数y ＝log a x 与y ＝1log a
x
（a>0且a ≠1）关于x 轴对称 2.
①
②
3. 几个注意点
（1）函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x （a>0，a ≠1）互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系；（2）比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型。

在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常可再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较；（3）在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。

研究指数、对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。

【典型例题】
例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）
A. a ＜b ＜1＜c ＜d
B. b ＜a ＜1＜d ＜c
C. 1＜a ＜b ＜c ＜d
D. a ＜b ＜1＜d ＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。

解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。

故选B 。

解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。

例2. 已知2x
x +2
≤（41
）x －2，求函数
y ＝2x －2－x 的值域。

解：∵2x x +2
≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。

又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数， ∴2－4－24≤y ≤2－2－1。

故所求函数y
的值域是［－16255，23
］。

例3. 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈（－∞，1）上y ＞0恒成立，求a 的取值范围。

解：由题意，得1＋2x ＋4x a ＞0在x ∈（－∞，1）上恒成立， 即
a ＞－x
x
421+在x ∈（－∞，1）上恒成立。

又∵－x
x
421+＝－（21）2x －（21
）x
＝－［（21）x ＋21］2＋41
，
当
x ∈（－∞，1）时值域为（－∞，－43
），
∴a ＞－43。

评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法。

例4. 已知f （x ）＝log 3
1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间。

解：∵真数3－（x －1）2≤3， ∴log 3
1
［3－（x －1）2
］≥log 3
13＝－1， 即f （x ）的值域是［－1，＋∞］。

又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1＋3，
∴x ∈（1－3，1）时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；
x ∈［1，1＋
3］时，f （x ）单调递增。

本章涉及的主要数学思想方法 1、能根据指数函数与对数函数的图象和性质进行值的大小比较，培养数形结合的意识，用联系的观点分析问题。

2、用类比的方法从指数函数的性质，归纳出对数函数的性质，理解指数函数与对数函数的简单应用模型。

3、要注意分类讨论思想的应用。