• 3、候选键的一般求解法 • ⑥ 在剩余的属性中依次取两个属性、三个
属性，…，将其记为集合B，并求(XB)F+ ：若(XB)F+包含了R的全部属性，且自身 不包含已求出的候选键，则XB为R的一个 候选键； • ⑦ 重复⑥，直到Y中的属性按⑥的组合依 次取完为止； • ⑧ 输出候选键，算法结束。
2020/6/3
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1、函数依赖集的等价与覆盖
• 定义5.5 • 设F和G是两个函数依赖集，如果F＋＝
G＋，则称F和G等价。如果F和G等价，则 称F覆盖G，同时也称G覆盖F。
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定理
• 定理5.7 F＋＝G＋的充要条件是FG＋和 GF＋。
所 有
F
F＋= G＋
X→Y G＋
X→Y能否Y由GX根G据+ ？公理导出？
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三、最小函数依赖集
• 一个函数依赖集F的闭包F＋通常包含 很多函数依赖，有些函数依赖是无意义的 ，如平凡的函数依赖，还有一些是可以推 导出的，即无关的函数依赖。如果将每一 个函数依赖看作是对关系的一个约束，要 检查F＋中的每一个函数依赖对应的约束， 显然是一件很繁重的任务。如果能找出一 个与F等价的、包含较少数目函数依赖的 函数依赖集G，则可以简化此工作。最小 函数依赖集的概念由此而提出。
② F22=
ABC ， CA ， BCD ， ACDB ， DE ， DG ， BEC ， CGD，CEG
③ F3=
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ABC ， CA ， BCD， CDB ， DE ， DG ， BEC ， CGD ， CEG
3、举例（续四）
• 例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
• 法2：
① F1=
必为R的唯一候选键； • （3）若X是R类属性，则X不是任一候选键的成员； • （4）若X是N类属性，则X必包含在R的某一候选键中； • （5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，且X
＋包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。
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四、候选键的求解方法
• 3、候选键的一般求解方法 • ① 将所有属性分为L、R、N和LR四类，
• 1,…,n)均成立。
作用：将一个FD分解成若干个右边是单属性 的FD。用于确定关系的主键。
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二、X关于F的闭包及其计算
• 例：已知关系模式R(A,B,C)，其函数依赖 集为F={A→B，B→C}，求函数依赖集F的 闭包F 。 +
A→ ， AB→ ， AC→ ， ABC→ ， B→ ， C→ A→ A， AB→ A， AC→ A， ABC→ A， B→ B， C→ C A→ B， AB→ B， AC→ B， ABC→ B， B→ C，
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1、X关于F的闭包
• 设 有 关 系 模 式 R(U,F) 和 属 性 集
U={A1,A2,…,An}的子集X。则称所有用阿 姆斯特朗公理从F推导出的函数依赖X→Ai 的属性Ai组成的集合称为X关于F的闭包， 记为XF+，通常简记为X+。即
•
XF+={Ai|用公理从F推出的X→Ai}
Armstrong公理的推论 分解规则：若XY，且ZY，则XZ
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求解方法（续一）
• （2）去掉F中冗余的函数依赖 • 对于F中任一FD：XY • ① G = F-{XY}； • ② 求X关于G的闭包XG+； • ③ 看XG+是否包含Y。如果XG+包含Y，
则在G中逻辑蕴涵XY，说明XY是多余 的函数依赖，所以F=G；如果X+不包含Y ，则保留XY。
性； • ② R类：仅出现在F的函数依赖右部的属
性； • ③ N类：在F的FD左右两边均未出现的属
性； • ④ 2020/6/3 LR类：在F的FD左右两边均出现的属
四、候选键的求解方法
• 2、快速求解候选键的一个充分条件
• （1）若X是L类属性，则X必为R的某一候选键的成员； • （2）若X是L类属性，且X＋包含了R的全部属性，则X
2、定理5.1
• Armstrong公理是正确的。 • 方法：从函数依赖的定义出发
• A1 自反律：若YX，则XY
• 证：设u、v为r的任意两个元组。 • 若u[X]=v[X]，则u和v在X的任何子集
上必然相等。 • 由条件YX ，所以有：u[Y]=v[Y]， • 由u、v的任意性，并根据函数依赖的定
F+= A→ C， AB→ C， AC→ C， ABC→ C， B→ BC，
A→ AB， AB→ AB， AC→ AB， ABC→ AB， BC→ ， A→ AC， AB→ AC， AC→ AC， ABC→ AC， BC→ B， A→ BC， AB→ BC， AC→ BC， ABC→ BC， BC→ C， A→ ABC，AB→ ABC，AC→ ABC，ABC→ ABC，BC→ BC，
Armstrong公理导出的问题 求出X＋，判定Y是否为X＋的子集的问题。
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3、X关于F的闭包X＋的计算
• 算法5.1 求属性集X关于函数依赖集F的闭 包X＋
• 输入： • 关系模式R的全部属性集U,U上的函数
依赖集F，U的子集X。 • 输出： • X关于F的闭包X＋。 • 计算方法：
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3、举例
• 例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
F=
• 法1：
ABC ， CA ， BCD ， ACDB ， DEG ， BEC， CGBD，CEAG
① F1=
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ABC ， CA ， BCD ， ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
3、举例（续一）
义，可得 XY。
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3、 阿姆斯特朗公理的推论
• 合并规则：若XY且XZ，则XYZ
• 分解规则：若XY，且ZY，则XZ
• 伪传递规则：若XY且WYZ，则 WXZ
证：
增广律 X Y
WX→ WY WY→ Z
传递律
WX→ Z
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4、定理5.2
• 如果Ai(i=1,…,n)是关系模式R的属性, 则XA1A2…An成立的充分必要条件是 XAi(i=
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主要内容
• 阿姆斯特朗公理及推论 • X关于F的闭包及其计算 • 最小函数依赖集 • 候选键的求解方法2020/6/3一、阿姆斯特朗公理及推论
问题引入：
侯选键
F=X→Y
F+
能从F导出的所有 X→Y
X→Y在R 中是否成立
推导工具？
是一系列推理规则 最早出现在1974年W.W.Armstrong的论文 里 他人与1977年提出改进形式
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小结
Armstrong公理 及推论
X→Y是否能从F导出
候选键
求最小FD集
L类、N类、LR类
YX+
求X+
FD右边 单属性
无多余FD
F+=G+
FD左边 无多余属性
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并令X代表L和N类，Y代表LR类； • ② 求XF+：若XF+包含了R的全部属性，则
X是R的唯一候选键，转⑧； • ③ 在Y中取一属性A，并求(XA)F+ ：若
(XA)F+包含了R的全部属性，则XA为的一 个候选键； • ④ 重复③，直到Y中的属性依次取完为止 ；
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四、候选键的求解方法
四、候选键的求解方法
• 3、候选键的一般求解法
• 例:设有关系模式R（A,B,C,D,E），R的函
数 依 赖 集 F ＝ {ABC,CDE,BD,EA} ，求R的所有候选键。
均为LR类,令Y=ABCDE。 A+=ABCDE E+=ABCDE BC+=ABCDE CD+=ABCDE R的候选键：A、E、BC和CD
FG＋ GF＋
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推论
• 每一个函数依赖集F都被其右端只有一 个属性的函数依赖组成的依赖集G所覆盖 。
作用：任一函数依赖集都可转化成由右端只 有单一属性的依赖组成的集合。
该结论是最小函数依赖集的基础。
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2、最小函数依赖集
• 满足下列条件的函数依赖集F称为最小 函数依赖集。
• 例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
② F21=
ABC ， CA ， BCD ， ACDB, DE,DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG
② F22=
ABC ， CA ， BCD ， ACDB ， DE ， DG ， BEC ， CGD，CEG
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3、举例（续三）
• 例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
• 例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
① F1=
ABC ， CA ， BCD ， ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
② F21=
ABC ， CA ， BCD ， ACDB ， DE ， DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG
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3、举例（续二）
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4、举例
• 例5.4 已知R(U),U={A,B,C,D,E,G}， R上的
FD集 • F={AB→C,C→A,BC→D,ACZD=E→GB BD=，X(0)
D→EG,BE→C, • CG→BD,CE→AG}，
X＋=ABCDEG
• X=BD，求X＋，BD→A是否成立？ • (1)X（0）=BA∈DB。D＋，故BD→A成立 • (2)X（1）=BDEG • (3)X（2）=BCDEG