y
y
端点处，其速度大小为
dr （A） dt
（B）ddrt o
r(t)
x
x
（C） d r dt
注意
（D） (dx)2 (dy)2
dr
dt
dr
dt
dt dt
四 加速度 （反映速度变化快慢的物理量）
1） 平均加速度
t 时间间隔内，速度增加了vv
单位时间内的速度增
量即平均加速度
av vv
y
物体A
的速度
vvA

v vi
B
l
A
物体B 的速度
vvB vy
v j

dy dt
v j
o
v x
x2 y2 l2
OAB为一直角三角形，刚性细杆的长度 l 为一常量
x2 y2 = l2
y
B
对时间t求导
2x dx 2 y dy 0 dt dt
l
o
A
v x
即
dy x dx
凹 侧？
vA
A
aA
aB
·C
vC aC
B· vB
地球绕太阳运动，机械能守恒
近日点→远日点：引力势能增加， 动能减小，速度与加速度成钝角；
远日点→近日点：引力势能减小， 动能增加，速度与加速度成锐角；
讨论 vv v 吗？
vv:速度增量的大小 v : 速度大小的增量,速率增量
vv vv(t t) vv(t) v v(t t) v(t)
平均速度大小
vv
v
2 x

v
2 y

( x )2 ( y )2 t t
2 瞬时速度 (精确描述物体运动的快慢，微积分思想)
当 t 0 时平均速度的极限值是t时刻的瞬时速
度, 简称速度
vv lim rv drv t0 t dt
当 t 0 时, dr ds
瞬时速v率：v速x度ivvv的y大j小称v为zk速率
v vv
vx2

v
2 y
vz2

( dx )2 ( dy )2 ( dz )2 dt dt dt
(dx)2 (dy)2 (dz)2 / dt ds dt
讨论 一运动质点在某瞬
时位于位矢 r(x, y) 的
vv : 线段ab的长度
a vv b
vv(t)
vv(tc
v
t)
O
在Ob上截取 oc oa
v : 线段cb的长度
讨论
问 av a dv 吗？av dvv av dvv
dt
dt
dt
例 匀速率圆周运动
因为 v(t) v(t dt)
所以 dv 0 dt
而 av a 0 (a v2 )
dt
vv

v 4i

2
v j
m s1
av

dvv

2iv，t

2s时质点的加速度为av

v 2i
dt
例4 如图所示, A、B 两物体由一长为l 的刚性
细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行. 如物体
v A以恒定的速率 向左滑行, 当 60o 时 , 物体 B 的
速率为多少？ 解 建立坐标系如图
r
(xB

xA)i
(
yB

yA
)
j
(zB

z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
4 路程（s ）: 质点实际运动轨迹的长度.
位移的物理意义
A) 确切反映物体在空 间位置的变化, 与路径无关，
y
(
x1, y1
P1
)rs
(x2 , y2 )
P2
只决定于质点的始末位置.
当质点做曲线运动时, 质点
在某一点的速度方向沿该点曲线
的切线方向.
vv

ds dt
evt
,
ds dt
速率 瞬时速度的大小
t 0的过程中
位移越来越接近曲线
evt 是沿切线方向的单位矢量，是变化的.
v
d
x
i
d
y
j
dt dt
y vy
v

vxi vy j
o
vx
x
若质点在三维空间中运动，其速度
rv rv0 vvdt
vv vv0 avdt
rv0 , vv0 , a
例1 斜抛运动
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止 自由下落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子 ?
例1 设在地球表面附近有一个可视为质点的抛体,
以初速 v0 在 Oxy 平面内沿与 Ox 正向成 角抛出, 并
第1章 质点运动学
1-1 质点运动的描述
一 参考系 质点 1 参考系
物体是运动还是静止是相对而言的.
高铁上的茶杯
相对于旅客是静止的
相对于地面，旅客和茶杯是高速运动的
为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系.
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动 描述的相对性.
2 质点 如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状
又
rrBA
所以位移
r (xB

xAi yA xrBirByB
xA)i (yB
j
j rA
yA
)
j
y

yB yB yA
若质点在三维空间中运动， o xA
xB x
则在直角坐标系 Oxyz 中其位
xB xA
移为
z
举例 分量式
xt
y 2t 2
从中消去参数 t 得轨迹方程 y 2x2
抛物线
3 位移
y

rvA A
r rvB
B
y

yB yA
rvA A
r rvB
B
yB yA
o
x
o
xA
xB x
xB xA
位移矢量是经过时间间隔△t质点的位矢 发生的变化，可由始点 A 指向终点 B 的有向
线段。rB位移矢rA量也简r称位移。 r rB rA
R
vv(t) O vv(t dt) dvv
所以 a dv dt
1-2 求解运动学问题举例
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位
矢、速度和加速度；
rv rv(t)
vv drv
dt
av dvv dt
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可
求质点速度及其运动方程 .
略去空气对抛体的作用. （1）求抛体的运动方程和其 运动的轨迹方程;（2）抛体的最大射程.
y v0x v0 cos
运动方程：rv rv(t)
v v0 y
v0y
v0
v0 sviny
vv0 x
轨迹方程：y f ( x)
vv0 x
o v0x
d0
vy
x
v
已知：
v0
，r0
B）反映了运动的矢量
二性维和叠加r性 .xi
yj
r(t1)
O
r
r(t2 )
x P1(x1, y1)
r x2 y 2
注意 r r
P2 (x2 , y2 ) 位矢长度的变化
r x22 y22 x12 y12 r r
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程
的r选取rrBAr无B关rr，rBAA如图bb(所rB示rr.BAb)

(rA

b)

rB

rA
质点的位矢与坐标系原点的选取有关，而位移与坐标系 原点的选取无关.
三 速度 1 平均速度 (运动快慢的粗略描述)
在t 时间内, 质点从点
质点作三维运动时加速度为
av

v axi

ay
v j

v azk
加速度大小
ax2 a2y
ax
ax

dvx dt

d2x dt 2
ay

dvy dt

d2 y dt 2
a ax2 ay2 az2
az

dvz dt

d2z dt 2
思考: 一质点作平面曲线运动,加速度方向始终指向曲线轨道
dt y dt
vB


x y
dx dt
j
dx v, tan x
dt
y
vB

v tan
j
vvB 沿 y 轴正向, 当 60时 vB 1.73v
1-3 圆周运动 自然坐标系
平面极坐标系
确定质点在A点的位置 (1)位矢rv的大小r
(2)位矢rv与ox轴之间的夹角 ：角坐标
对物体运动的影响，我们就可以把物体当作是一个只有质量的 点（即质点）来处理 .
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型 . 目的 是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考虑一些次要的因素 .
➢ 物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
地球 太阳
地—日平均间距： 1.5 ×108 km
地球半径： 6.37 × 103 km
(r, ) 确定，则A点的位置确定
y

o
A A(x, y)
r
x
以 (r, ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 .