【数学文】2011届高考模拟题（课标）分类汇编： 三角函数1．（2011·朝阳期末）要得到函数sin(2)4y x π=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象( C )（A ）向左平移4π单位 （B ）向右平移4π单位 （C ）向右平移8π单位 （D ）向左平移8π单位2．（2011·朝阳期末）已知3cos 5x =，(),2x ππ∈，则tan x = 43-3．（2011·朝阳期末）（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值．解：（Ⅰ）因为11()2cos 2222f x x x =--1sin(2)62x π=--， ………… 4分 所以22T ππ==，故()f x 的最小正周期为π. …………………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以52666x πππ--≤≤． ……………………9分所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最大值12. ………………11分当662ππ-=-x ，即0x =时，)(x f 有最小值1-． ………………13分4．(2011·丰台期末)在△ABC 中，如果5AB =，3AC =，7BC =，那么A ∠= 23π． 5．(2011·丰台期末) （本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos ()f x x x x x R =-∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的取值范围．解：（Ⅰ）因为 ()sin 2cos 21f x x x =--)14x π=--．所以 22T π==π．（Ⅱ）())14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤，所以 当242x ππ-=，max ()1f x ， 当244x ππ-=-，min ()2f x =-．所以)(x f 的取值范围是21⎡⎤-⎣⎦．6. (2011·东莞期末)定义运算：,32414321a a a a a a a a -=已知函数sin 1() 1 cos x f x x-=，则函数)(x f 的最小正周期是( B ) A ．2πB ．πC ．π2D ．π4已知函数x x x x f cos sin cos )(2+=． （1）求函数)(x f 的最大值；（2）在ABC ∆中，3==AC AB ，角A 满足1)82(=+πA f ，求ABC ∆的面积.解：（1）x x x x f cos sin cos )(2+=x x 2sin 2122cos 1++=……………………………2分 21)2cos 222sin 22(22++=x x 21)42sin(22++=πx …………………………… 4分∵1)42sin(1≤+≤-πx ，∴)(x f 的最大值为2122+． （2）∵1)82(=+πA f ， ∴121]4)82(2sin[22=+++ππA ， 即 22)2sin(=+πA ， ∴22cos =A ． ∵ A 为ABC ∆的内角， ∴ 22sin =A ． ∵3==AC AB ， ∴ ABC ∆的面积429sin 21=⨯⨯⨯=A AC AB S ．7．(2011·佛山一检)函数2()12sin ()4f x x π=-+，则()6f π=( A ) A．2-B ．12-C ．12D．28．(2011·佛山一检)（本题满分12分）在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）若10,BC =求ABC ∆的面积. 解：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，∴3sin 5B ==．sin sin(180)sin(135)C A B B =--=-243sin135cos cos135sin (55B B =-=⋅-⋅=（Ⅱ）由正弦定理得sin sin BC ABA C =72AB =，解得14AB =． -----------------------------10分 则ABC ∆的面积113sin 101442225S AB BC B ==⨯⨯⨯= 9．（2011·广东四校一月联考）已知凸函数的性质定理：“若函数()f x 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意12,,,n x x x ，有：12121[()()()]()n n x x x f x f x f x f n n+++++≤”．若函数sin y x =在区间(0,)π上是凸函数，则在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 （ C） A ．12 B ．32C D10．（2011·广东四校一月联考）在ABC ∆中， 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若7,8,9a b c ===，则AC 边上的中线长为 7 ． 11．（2011·广东四校一月联考）（本小题满分12分）已知向量(2sin ,cos )42x x m =，(cos 4xn =，函数()f x m n =⋅（1）求()f x 的最小正周期；（2）若0x ≤≤π，求()f x 的最大值和最小值． 解：（1）()2sin cos sin 2sin()4422223x x x x x x f x π==+=+-------4分()f x 的最小正周期4T π=．-------6分 （2） 0x π≤≤53236x πππ∴≤+≤，当232x ππ+=，即3x π=时，()f x 有最大值2； -------8分 当5236x ππ+=，即x π=时，()f x 有最小值1 ． --------12分12.(2011·广州期末)若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为( B )A ．sin 214⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π B ．sin 212⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭y x π C ．1sin 124⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π D ．1sin 122⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π13．(2011·广州期末)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知2,3a b ==，则sin sin()A A C =+ 23 .14．(2011·广州期末)（本小题满分12分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值；（2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． （1）解：∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，∴sin cos 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin 22=+θθ,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得sin 55θθ==,∴55cos ,552sin ==θθ. …… 6分（2）解:∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3sin(),5θω-= ∴4cos()5θω-==. …… 8分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- …… 10分5=.15．（2011·哈九中高三期末）将函数3sin2y x =的图像按向量(,1)6a π=-平移之后所得函数图像的解析式为（ ）A ．3sin(2)13y x π=++ B ．3sin(2)13y x π=-+C ．3sin 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ D ．3sin(2)16y x π=++ 【答案】A【分析】按照向量(,1)6a π=-平移，即向左平移6π个单位，向上平移1个单位。
【解析】得到的函数解析式是3sin 2()13sin(2)163y x x ππ=++=++。
【考点】基本初等函数Ⅱ。
【点评】按照向量对函数图象进行平移在课标的考试大纲中是不作要求的，偶尔在新课标的一些模拟题中出现这类问题可能是命题者没有注意到该点。
实际上按照向量进行平行可以转化为左右平移和上下平移。
16．（2011·哈九中高三期末）（10分）在ABC ∆中，已知内角32,3==BC A π，设内角x B =，周长为y ．（1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．【分析】（1）根据正弦定理求出AC ，AB 即可求出函数()f x 的解析式，根据三角形内角和定理即可求出函数的定义域；（2）变换函数()f x 的解析式为一个角的一个三角函数，再根据三角函数的性质解决。
【解】（1）由正弦定理知x AC x AC sin 4,60sin 32sin =∴=（2分） )32sin(4,60sin 32)32sin(x AB x AB-=∴=-ππ （4分） 32)6sin(3432)32sin(4sin 4++=+-+=∴ππx x x y ，)320(π<<x （6分） （2）26,6566πππππ=+∴<+<x x即3π=x 时，36m ax =y （10分）【考点】基本初等函数Ⅱ、解三角形。
【点评】本题综合考查了正弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质，这也是高考中三角函数解答题的一个常规考查方式，值得注意的是虽然高考降低了对三角恒等变换的考查，但在解决三角函数性质的试题中三角恒等变换往往是解题的工具，在复习三角函数时一定不要忽视了三角恒等变换。
17．(2011·杭州一检)已知α∈R, 则cos （2π+α） = （ C ）A ．sin αB ．cos αC ．– sin αD ．–cos α18．(2011·杭州一检)已知△ABC 中，5tan 12A =-，则cos A = 1213- ． 19．(2011·杭州一检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a , b ,c ，已知():():()4:5:6b c c a a b ，若8b c ，则△ABC 的面积是4315 ． 20．(2011·杭州一检)（本题满分14分）已知函数2()23sin cos 12sin f x x x x ，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; （2）将函数()yf x 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的12，把所得到的图象再向左平移6π单位，得到函数()y g x 的图象，求函数()y g x 在区间]80[π，上的最小值． 解：（1）因为2()23sin cos 12sin 3sin 2cos 2f x x x xx x=)62sin(2π+x , 4分函数f （x ）的最小正周期为T =π． 由≤+≤-6222πππx k 22ππ+k ，Z k ∈，得f （x ）的单调递增区间为]6,3[ππππ+-k k ， Z k ∈． 9分（2）根据条件得)(x g =)654sin(2π+x ，当∈x ]80[π，时，654π+x ∈]34,65[ππ， 所以当x = 8π时，3)(min -=x g ． 14分21．(2011·杭州一检)（本题满分15分）已知向量a = （1,2） ，b = （cos α,sin α），设m = a + t b （t 为实数）． （1）若α=4π，求当|m |取最小值时实数t 的值; （2）若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a – b 和向量m 的夹角为4π，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为α=4π，b =（2222，），223=⋅→→b a ，则||m ==5232++t t =21)223(2++t所以当322t时，|m 取到最小值，最小值为2． 7分（2）由条件得cos45 ||||)((b t a b a b a b a +-||b a -=6, ||b t a +=25t +, t b t a b a -=+⋅-→→→→5)()(，则有2565tt +-=22，且5t ，整理得2550t t ，所以存在t =2535±-满足条件． 15分 22．(2011·湖北重点中学二联)（本小题满分12分） 已知ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，且sin().44A A ππ+=<< （I ）求tan A 的值。