F


s
回顾反思 拓展延伸 1.课堂小结
向量在 轴上的 正射影
功 向量 向量数量积
数量积
向量 的夹角
数量积的 数量积 五条性质 的性质
回顾反思 拓展延伸 1.课堂小结
由具体 到抽象
分类 讨论
数学思 想方法
由特殊 到一般
数形 结合
回顾反思 拓展延伸
2.布置作业
基础巩固 课本 P109 练习 A 第 2 题
过程与方法目标 通过分析实际问题,经历 由特殊到一般、由具体 到抽象的过程；渗透分 类讨论、数形结合等思 想方法.
教学重点、难点
平面向量数量积的定义和性质
理解向量在轴上的正射影及其数量； 发现平面向量数量积的性质
教法学法
教学方法
情境式和问题 探究式相结合
教法 学法
学法指导 自主探究与 合作交流
教学手段 多媒体和 导学案
教学过程
物理背景
追溯
概念的起源
揭示
抽象概括
概念的内涵 概念的外延
发现
问题探究
教学过程
创 设 情 境
引 入 背 景
分 析 背 景 形 成 概 念
应 用 概 念
探 究 性 质
归 纳 性 质
回 顾 反 思 拓 展 延 伸
学 以 致 用
创设情境 引入背景
创设情境 引入背景
想一想
F

s
大力士拉车,沿着绳 ur 子方向上的力为 F ,车的 r 位移是 s ，力和位移的 夹角为 ，所做的功为 多少？ W | s || F | cos
1 l 1
l
分析背景 形成概念
作一作
分别作出图中 OA ，OB ，OC 在轴 l 上的
正射影， 并指出所作正射影的数量的符号.
B
A
C
C1
O B1
A1
l
分析背景 形成概念
练一练
(1) 已知 | OA | 5 , OA, l 120 ,求 OA
向量的数量积
性质1 性质2 性质3 性质4 性质5
例题示范 学习练习
课堂小结
布置作业
设计说明
设计特色
• 于物理中提炼 • 在抽象中思考
• 从数学中感悟
• 到生活中应用

3. a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a a 方向上的正射影的数量 | b | cosa, b 的乘积；


的长度 | a | 与 b 在

4.性质 1 若 e 是单位向量，则 a e e a | a | cosa, e ， 表示 a 在 e 方向上的正射影的数量.
应用概念 探究性质
一例
二练 三探究
应用概念 探究性质
讲一讲
例
已知 | a | 5 , | b | 4 , a, b 120 ,求 a b .
应用概念 探究性质
算一算
(1)已知 | a | 2 ， | b | 3 ，a b=3 ,求 a, b .
做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a b ，即
a b | a || b | cosa, b .
规定 零向量与任一向量的数量积为 0
分析背景 形成概念
定义剖析
1.“ ”是内积运算符号，不能省略也不能用“ ”代替；
2.数量积 a b 的结果是一个实数；

人教B版 数学 必修 4
2.3.1 向量数量积的
物理背景与定义
山东师范大学附属中学
徐同

内容提要
学情 分析
教材 分析
教学 目标
教法 学法
教学 过程
设计 说明
教材分析
物理 背景
减法
加 法 向量 概念 数乘 数 量 积 代数 几何
抽象

B
错 解 重 现
注意：求两个向量的夹角时要将两个向量平移到同一始点.
分析背景 形成概念

问题 2
如何作出力 F 在位移 s 方向上的

分力？它的大小是多少？
F
| F | cos

s
a
O
A

x
1
W | s || F | cos
A al | a | cos O1
分析背景 形成概念
两个向量 的夹角
向量在轴上 的正射影
向量的 数量积
分析背景 形成概念
问题 1 这个物理背景涉及哪些矢量？ 影响功的因素有哪几个？
F

W | s || F | cos
s
b
a
O
b
B
a
A
分析背景 形成概念
已知两个非零向量 a ， b ，作 OA a ，
l
分析背景 形成概念
已知向量 a 和轴 l .作 OA a ，过点 O , A 分别作 轴 l 上的垂线，垂足分别为 O1 , A1 ，则向量 O1 A1 叫做 向量 a 在轴 l 上的正射影（简称射影） ，该射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上 A 的数量或在轴 l 的方向上 a 的数量记作 a l . O x a l | a | cos Oa A
向量 a 在 b 方向上的正射影的数量.
b
分析背景 形成概念
s F
W
W | s || F | cos
F

a b a b
a b | a || b | cosa, b
s
分析背景 形成概念
定义
已知两个非零向量 a , b ， 把数量 | a || b | cosa, b 叫
练习 B 第 1,2 题
能力发展 课本 P115 习题 2-3A 第 1,2,3 题
拓展延伸
通过查阅图书资料或网上资料， 完成向量的另 一种乘法运算——矢量积的概念的学习和性质的探 讨，并探索出自己的成果形成小论文.
面对挑战，敢于超越！
设计说明
板书设计
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 两个向量的夹角 向量在轴上的正 射影及其数量
3.零向量与任意向量垂直.
规定
分析背景 形成概念
找一找
如图，在等腰直角 ABC 中， C 90 , 求出下列两个非零向量的夹角. C (1) AC, AB =___； (2) CA, CB =____； A (3) CB, BA =____.
归纳性质 学以致用
（1）如果 e 是单位向量，则

a e e a | a | cos a, e ；




（2） a b a b 0 ，且 a b 0 a b ； 2 （3） a a | a | 即 | a | a a ；
OB b ，则 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹 角，记作 a, b . a, b b, a
b
b
O
B
a
a
A
分析背景 形成概念
b
a
1. 0 a, b ； 2.当 a, b 时， 则称向量 2 a 与向量 b 互相垂直 . 记作 a b；
性质 2 a b a b 0且 a b 0 a b






性质 5
| a b || a || b |
辨一辨
(1) 已知 a b ,求 a b 的值. （2）已知 a b 0 ，试讨论 a 与 b 是否垂直. （3）试比较 | a b | 与 | a || b | 的大小.
a b 性质 4 cos a, b (| a || b | 0) | a || b | (2)已知 | a | 2 ,求 a a .
性质 3
2 a a | a | ,即 | a | a a
应用概念 探究性质
A
120
(2) 已知 a, b 45 , | a | 2 ，| b | 3 ， 求
a 在 b 方向上的正射影的数量.
在轴 l 上的正射影的数量 OA1 .
A 1
O
l
a
45
已知两个非零向量 a 和 b ， 则 | a | cos a, b 叫做




（5） | a b || a || b | .
a b （4） cos a, b |
归纳性质 学以致用
用一用
已知本课视频中大力士拉力 F 与卡车的位移 成 30 角，若卡车在位移方向上匀速前进了 5m ， 拉力对卡车所做的功为 2500J ，求拉力 F 的大小.
平面向量 的数量积
三角
学情分析
学习向量的概念和线性运算
了解物理背景：力,位移,功
具备数学建模能力 抽象能力有待提高
教学目标
情感态度与 价值观目标 通过物理背景，体 会向量的科学价值, 培养探索精神，提 高应用意识.
教学 目标
知识与技能目标 理解向量数量积的 含义及其物理意义； 初步掌握数量积的 性质；培养抽象思 维能力.