抛物线基础训练（解析版）
1.抛物线218
y x ＝－的焦点是________，准线方程是__________． 【答案】（0，-2）； 2y =， 【解析】218
y x ＝－可化为2=8x y －， 所以其焦点坐标为（0，-2），准线为2y =．
2．已知抛物线过点(1，1)，则该抛物线的标准方程是______．（ ）
A. x 2＝y
B. y 2＝x
C. y 2＝4x
D. y 2＝x 或x 2＝y
【答案】D ；
【解析】设抛物线为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2My (M >0)，把(1，1)代入得1＝2p 或1＝2M ，∴p ＝12或M ＝12
， ∴抛物线方程为y 2＝x 或x 2＝y .
3．抛物线2
2y px =过点(2,4)A ，F 是其焦点，又定点(8,8)B -，那么||:||AF BF =（ ）
A.1:4
B.1:2
C.2:5 D .3:8
【答案】C ；
【解析】将点(2,4)A 的坐标代入22y px =，得4p =,
∴抛物线方程为28y x =, 焦点(2,0)F ，已知(8,8)B -, ∴2222)08()28()04()22(||||--+--+-=BF AF =5
2104=. 4. 抛物线21(0)y x m m =
<的焦点坐标是( ) A.(0,)4m B. (0,)4m - C. 1(0,)4m D. 1(0,)4m
- 【答案】 A ；
【解析】∵x 2＝My (M <0)，∴2p ＝－M ，p ＝2
m -，焦点坐标为(0,)2p -，即(0,)4m . 5. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4
【答案】 C ；
【解析】本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．
抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝2p -
，由题意知，3＋2
p ＝4，p ＝2. 6.抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为
【答案】 7(,42
± 【解析】 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋
2p ＝x 0＋14＝2，
∴x 0＝74
，∴y 0＝. 7．以双曲线22
1169
x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________． 【答案】y 2＝－20x
【解析】 ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，
又p ＝10，∴y 2＝－20x .
8．抛物线y 2＝16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．
【答案】(2，±
【解析】 设抛物线y 2＝16x 上的点P (x ，y )
由题意，得(x ＋4)2＝x 2＋y 2＝x 2＋16x ，
∴x ＝2，∴y ＝±
9.分别求适合下列条件的抛物线方程.
（1）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A （2，3）；
（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为
52. 【答案】（1）292y x =或243x y =； （2）25y x =或25y x =-或25x y =-或25x y =-；
10.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (-3，M )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程与M 的值.
【解析】
设抛物线的方程为y 2=-2p x ，
p |MF |35p 42
=+=∴=Q ，， 所以抛物线的方程为y 2=-8x ，
2m 24,∴=m =±11.点M 到直线y +5=0的距离比它到点N (0，4)距离大1，求点M 的轨迹方程.
13. 【解析】 法一：设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，则
y 51,y 4+=∴+=，
2x 16y ∴=即为所求.
法二：由题知M 到直线y =-4的距离等于它到N 的距离，
所以M的轨迹是抛物线，焦点为N(0，4)，准线为y=-4，
∴x2=16y
12.若点M到定点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程．
【答案】216
y x
=
13.已知抛物线关于y
轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M-，求它的标准方程．
【答案】2x y
=．
14.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x
【答案】B
15.若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．
【解析】∵点M到对称轴的距离为6，
∴设点M的坐标为(x,6)．
∵点M到准线的距离为10，
∴
2
62
10
2
px
p
x
⎧=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，解得
9
2
x
p
=
⎧
⎨
=
⎩
，或
1
18
x
p
=
⎧
⎨
=
⎩
，
故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.
当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.
16.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点．点A(－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|P A|的值最小．
【思路点拨】如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使折线段P A，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小．
【答案】
1
2
2 P
⎛⎫ ⎪⎝⎭
－，
【解析】∵点A(－2，4)在抛物线x2＝8y内部，如上图所示，
设抛物线的准线为l，过P作PQ⊥l于Q，过A作AB⊥l于B.
由抛物线的定义可知|PF|＋|P A|＝|PQ|＋|P A|≥|AQ|≥|AB|.
当且仅当A，P，Q三点共线时，|PF|＋|P A|的值最小，
此时点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝1
2
，
故当点P的坐标为
1
2
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
－，)时，|PF|＋|P A|的值最小．
17.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得|P A|＋|PF|取得最小值，则P点坐标为()
A．(0，0)B．(1，1) C．(2，2) D.
1
1 2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
【答案】C
【解析】由抛物线定义，|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP′|，如图所示，因此，当且仅当点P、A、P′在同一条直线上时，有|PF|＋|P A|＝|PP′|＋|P A|最小，
此时点P的纵坐标等于A点纵坐标，即y＝2，
故此时P点坐标为(2，2)．故选C.。