定义3 设 f : X Y . 如果 f(X)=Y， 则称f是一个满射, 或者称f为从X到Y上的映射；如果对于X中任意互异 的两点x1,x2一定有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称f是一个单射; 如果f既是单射又是满射,则称f是一个一一映射. 如果f(X)是一个单元素集，则称f是一个常值映射.
当 f ( X ) {y0 } 时，称 f 是一个取常值 y0 的映射.
定理3 设X和Y是两个集合，又设 f : X Y ， 如果f是个一一映射，则其逆关系便是从Y到X的映射 因此可以写成 f 1 : Y X ，并且也是一一映射，此外
f
1
f iX ,
ff
1
iY
根据上面的定理3,一一映射又称为可逆映射.
R( A ) R( A ),
J J
R( A ) R( A )
J J
定理 4 设 X 和 Y 是两个集合， f : X Y ，则对于 集合 Y 的任何一个非空子集族 {B | J } ，有
f 1 ( B ) f 1 ( B ),
p {( x, [ x]~ ) | x X } X X ~
§1.6 集族及其运算
重点:集族的交与并的理解
难点：集族交与并的理解
定义 1 设 X 是全集,集族{ A J } P( X ) ,指标集 J 集

合
{x | 存在 J 使得x A }

称为集族 {A }J 的并集,记作 J A ; 集合
J J
J
J
(4)De Morgan(德摩根)定律
A ( A ) ( A A ) ， A ( A ) ( A A )
J J
J
J
定理 3 设 R 是从集合 X 到集合 Y 的一个关系,则对 于集合 X 的任何一个非空子集族 {A | J } ,有
2 {( x , y )| x , y ? R , x <,<=
y 2, 或 x 2 = y 2, x < y } ? R 2 ,读者可自行验证
它也是 R 上的一个序关系.
以上两个例子说明一个集合 X 上可存在多个序关 系.
定义 1.2.11 设<是集合 X 中一个序关系.并设 a, b X , a b ， 我们用符号 (a, b) 表示集合 {x X | a x b} ，并称之为 X 中的开 区间；我们用 [a, b] 表示集合 {x X | a x b} ，并称之为 X 中 的 闭 区 间 ， 符 号 [a, b), (a, b] 分 别 表 示 集 合 {x X | a x b} 和
. 定理1 设X、Y、Z 都是集合，如果 f : X Y，
g : Y Z ，则g f 是从集合X到集合Z的映射，
并且对于任何 x X ，有
g f ( x) g ( f ( x))
定理2 设 X 和 Y 是两个集合, f : X Y . 如果 A, B Y ，则
(1)
给定 A X , B Y，则 f ( A), f ( B), f 都是有意义的. (1)
f ( A) { y Y |存在 x A ,使得 xfy} { f ( x) | x A}
1
1
并称f(A)为A在映射f下的象. (2) f 1 ( B) {x X | 存在y B使得xfy}
当然, 我们可将 R 2 看作是复平面 ,将
R
2
y
上的字典序关系用到相应的复平面上,
a bi c di
就可得到相应复数集上的相应序关系 , 这种序关系为 当且仅当
a c， 或 a c 且 b d .在上面的图 1.2.1
中有 a1 b1i a2 b3i a2 b2i .( 其中 i 是虚 数单位),当然,复数集中的这种关系和复 数集中的代数运算并不能使复数集成为 有序域.
.
定理4 设 X , Y , 和Z 都是集合, f : X Y ， g :Y Z . 如果 f 和 g 都是满射，则 g f : X Z 是满射; 如果 f 和 g 都是单射，则 g f : X Z 也是单射. 如果 f 和 g 都是一一映射，则 g f : X Z 也是一一映射. 定义4 设X和Y是两个集合, A X . 映射 f : X Y 和 g : A Y 如果满足条件 g f，则称g是f的限制， 或称f是g的扩张,记作 g f | A .特别地，恒同映射 i X : X X 在子集A上的限制 i X | A : A X 称为内射.
{x | 对于任意 J , x A }
称为集族 {A }J 的交集,记作 J A . 当指标集 J 时，我们规定 J A , J A X .
定理 1 设 {A | } 和 {B | J } 是两个非空集 族，如果 {A } | } {B | J } 则有： A B , A B . J J 特别地，如果 A {A | J } ，则有：
{x X | f ( x) B}
并称 f
1
(B) 为B在映射f下的原象.
(3) f (Y)=X，即映射f的定义域是X. (4) f(X)叫映射f的值域.
1
(5)如果Z是一个集合并且 g : Y Z ，则关系f和g的 复合 g f 作为从X到Z的关系有定义. (6) f -1作为Y到X的关系有定义，但一般说来 f -1 不是 一个从Y到X的映射.
{x X | a x b} .
如果 (a, b) ，称 a 是 b 的直接前行，b 是 a 的直接 后继.
定义 1.2.12 设<A 是集合 A 中的序关系,<B 是集合 B 中 的 序 关 系 , 在 A B 上 定 义 关 系 < 为
((a1 , b1 ), (a2 , b2 )) | a1 , a2 A, b1 , b2 B. a1 A a2 , 或a1 a2 且b1 B b2 }. 即
定义5 设 X 1 , X 2 两个给定集合，从笛卡尔积 X 1 X 2 到它的第i个坐标集 X i 的投射(或称第i个投射) pi : X 1 X 2 X i 定义为对于每一个
x ( x1 , x2 ) X 1 X 2 , pi ( x) xi
定义1.3.6 设～是集合X中的一个等价关系.从集合X到 它的商集 X ~ 的自然投射定义为对于每一个 x X , p( x) [ x]. 这个自然投射用关系定义便是：
例
1.2.4
实 直 线 R 上 的 小 于 关 系 <,
y} 是
<= {(x, y ) | x, y ? R, x
R 中一个序关系，当然，这个
序关系的性质比一般序关系的性质要强， 例如它和实数上 的代数运算一起构成了一个有序域， 我们称这个序关系为
R 上的通常序关系.
例 1.2.5 考虑实数集 R 中的另一个关系
定理 1 设 B 是一个非空集合,则下列条件是等价的: (1) B 是一个可数集; (2) 存在满射 f: Z+→B. (3) 存在单射 g:B→Z+.
推论 1 每一个可数集的子集是可数的.
定理 2
推论 2
映射保持可数性
笛卡儿积保持可数性.
例 1 正有理数集合是一个可数无限集.
定理 3 可数集合的可数并是可数集合.即设 {An }nJ 是一个有 标集族，J 是一个可数指标集，且对每个 n J ， An 是可数集
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) 当且仅当 a1 A a2 ，或 a1 a 2 且 b1 B b2 .容易证
明<是 A B 中的一个序关系，我们称之为 A B 中的字典 序关系.
例 1.2.6 考虑平面 R 2 上的字典序关系,在此序关系 中,平面上的点 P 小于位于通过 P 点垂直于 x 轴的直线上 而且在 P 点上方的每一点,P 点也小于位于该直线右方的 每一点,如图 1.2.1 中 (a1 , b1 ) (a2 , b3 ) (a2 , b2 )
定义 1.2.9 设 R 是 X 中的一个关系,如果 R 是可比 较的,传递的,且 R ( X ) , 则称关系 R 是 X 中的一个线 性序关系,或简单的称为序关系 ,带有序关系的集合称做 有序集.
一般地，我们用“<”来表示一个序关系.这样，序 关系的定义可叙述为：
定义 1.2.10 关系<是 X 中的一个序关系,如果<满足下 列条件: (1)对于任意 x X , ( x, x)<，此时记作 x≮x； (2)对于任意 x, y X , x y ，则 x<y，或 y<x. (3)对于任意 x, y, z X , 如果 x<y，y<z，则 x<z. 并且我们用 x y 表示 x<y 或者 x=y，而且当 x<y 时，我们 就说 x 小于 y.
1 f 1 ( A B) f 1 ( AB) f 1 ( A) f 1 ( B)
(3) f 1 ( A B) f 1 ( A) f 1 ( B) 简单地说，设 f : X Y，则 f
1
保持交，并，差运算.
J J
f 1 ( B ) f 1 ( B )
J J
简言之，集族的原象保持集族的并集与交集运算.
§1.7
可数集，不可数集
重点:可数集合的定义和性质
难点:不可数集合的存在性
.
定义1 设X是一个集合,如果X是空集或者存在正整数 使得集合X和集合{1,2,…,n}之间有一个一一映射,则称 集合X是一个有限集. 定义2 不是有限集的集合称为无限集;如果存在一个从 集合X到正整数集Z+的双射,则称集合X是一个可数无 限集,不是可数无限集的无限集合称为不可数集. 有限集和可数无限集统称为可数集.