华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2007－08 学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ）A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ）4.34arctan3A i π-+-的主辐角为.arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze i =成立的是（ ）.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z π=34.i B z eπ=712.i C z π=3.iD z π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于（ ） A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ）A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ ）A. 0.1BC.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭____________.17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________.20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =。
23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分） 25. 计算 201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。
28．用拉氏变换求解方程()(),(0) 1.ty t y t e y '+==其中复变函数与积分变换期末试卷答案一、选择题1．B. 2. C. 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 9.B 10.D 11.B 12.D 13.C 14.A 15.B二、填空题 16．cossin66z i ππ=+, 17. 1, 18. 3(1)z zze e -+,19. 1,20.11)4i--三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰解：设曲线C 的参数方程为:(23)0 1.C z i t t =+≤≤120[(2)](266)(23)CI x y ixy dz t t t i i dt =-+=-++⎰⎰1223100(46)(23)(23)(22)|t t i i dt i t t i =-++=+-+⎰10 2.i =--22. 设2()cos 4ze f z z z =+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 解：(1)由方程 240z -=得2z =±，故)(z f 的解析区域为\{2,2}C -.(2)222(42)()sin .(4)z e z z f z z z -+'=--23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为泰勒级数.解：11111()(1)(2)(2)(1)(1)2(1)2f z z z z z z z -==+=+------ 100001222nn nn n n n n n z z z z ∞∞∞∞+====--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ || 1.z <24. 将函数112()(1)z ef z z -=-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数. 解：ze 的泰勒展式为0!nzn z e n ∞==∑，故11z e -的罗朗展式为1111!nz n z e n ∞-=⎛⎫⎪-⎝⎭=∑， 所以11222001111().(1)(1)!!(1)nz n n n e z f z z z n n z ∞∞-+==⎛⎫⎪-⎝⎭===---∑∑四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2u z y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。
解：由柯西－黎曼方程得2,v uy x y ∂∂=-=∂∂ 所以0(,)2()2().x v x y ydx C y xy C y =+=+⎰ 2()22,v ux C y x y x∂∂'=+==+∂∂所以0()()2.y C y C y dx C y C '=+=+⎰所以(,)22.v x y xy y C =++从而2()2(22).f z x y x xy y C i =-++++又(0) 2.f Ci i ==所以 2.C = 所以2()2(222).f z x y x xy y i =-++++26. 计算2||2(1)(1)(3)z dzz z z =-+-⎰.解：由柯西积分定理得原式2112|1||1|2211(1)(3)(1)(3)(1)(1)z z z z z z dz dz z z -=+=+---=+-+⎰⎰21111(1)(3)(1)(3)z z z z z z =-='⎛⎫=+⎪+---⎝⎭2212211.(1)(3)1616z z z z =-=-=+-27. 求函数1,10()1,010,t f t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。
解：011()()i t i t i t F f t e dt e dt e dt ωωωω+∞----∞-==-+⎰⎰⎰1111i t i t i i e e e e i i i i ωωωωωωωω------=+=--24cos .i ωωω=-28．求函数 ()cos3f t t = 的拉氏变换解：330()()cos32it itst stste e F sf t e dt etdt edt -+∞+∞+∞---+===⎰⎰⎰ (3)(3)001122i s t i s t e dt e dt +∞+∞---=+⎰⎰ 2111.2339s s i s i s ⎛⎫=+= ⎪-++⎝⎭。