2019-2020年高考数学第二轮专题复习数列教案二、高考要求1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。

（3）加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。

等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即（a3+a5）2=25.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。

6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.四、复习建议1．对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.2． 注意等差（比）数列性质的灵活运用.3． 掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n 项和的求和方法.4． 注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想. 5． 注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用.6． 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。

而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。

近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。

五、典型例题数列的概念与性质【例1】 已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式. 解：∵q =1时， 又显然，q ≠1 ∴2212121)1(1)1(q q q a S q q a S n n n--==--=偶数项依题意；解之又421422143),1(q a a a q q a a a =+=+，依题意，将代入得【例2】 等差数列{a n }中，=30，=15，求使a n ≤0的最小自然数n 。

解：设公差为d ，则或或或解得：⇒ a 33 = 30 与已知矛盾 或⇒ a 33 = - 15 与已知矛盾 或⇒a 33 = 15 或 ⇒ a 33 = - 30 与已知矛盾 ∴a n = 31+(n - 1) () ⇒ 31 0 ⇒ n ≥63 ∴满足条件的最小自然数为63。

【例3】 设等差数列{a }的前n 项和为S ，已知S 4=44,S 7=35（1）求数列{a }的通项公式与前n 项和公式； （2）求数列的前n 项和T n 。

解：（1）设数列的公差为d ，由已知S 4=44,S 7=35可得a 1=17,d=-4 ∴a =-4n +21 (n ∈N ),S=-2n +19 (n ∈N ).（2）由a =-4n +21≥0 得n ≤, 故当n ≤5时，a ≥0, 当n ≥6时，当n ≤5时,T=S=-2n +19n 当n ≥6时,T=2S 5-S=2n -19n +90.【例4】 已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n 项和公式。

解：由 得∴23)1(35)1(1+=-+=-+=n n d n a a n ∴62321222321121-+=--+=+++=++n n n n n n b b b S ·…… 【例5】 已知数列：…，…，…，，，1001001002100133323122211++++++ ①求证数列为等差数列，并求它的公差 ②设，求的和。

解：①由条件，()212122121+=+=+++=+++=n n n n n n n n n a n …… ∴；∴()12121221≥=+-+=-+n n n a a n n 故为等差数列，公差 ②()()()()214421122211++=++=++=n n n n n n b n · 又知()()()()21121122111++=++--+=+-+n n n n n n n n ∴……………+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++2121421114413143121421n n n b b b n∴221214lim 21=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++++∞→n b b b n n …… 【例6】 已知数列1，1，2……它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。

求该数列的前n 项和S n ；解：(1)记数列1，1，2……为{A n }，其中等比数列为{a n }，公比为q ； 等差数列为{b n }，公差为d ，则A n =a n +b n (n ∈N ）依题意，b 1 =0，∴A 1 =a 1 +b 1 =a 1 =1 ① A =a +b=a q+b+d=1 ②A =a +b=a q 2 +b+2d=2 ③由①②③得d=-1, q=2, ∴∴ 2)1(12)]1()21()11[()221(1212121n n n b b b a a a A A A S n n nn n n -+-=-++-+-++++=+++++++=+++=-……………【例7】 已知数列满足a n +S n =n ,(1)求a 1,a 2,a 3,由此猜想通项a n ,并加以证明。

解法1：由a n +S n =n ,当n =1时，a 1=S 1，∴a 1+a 1=1，得a 1=当n =2时，a 1+a 2=S 2，由a 2+S 2=2，得a 1+2a 2=2，∴a 2= 当n =3时，a 1+a 2+a 3=S 3，由a 3+S 3=3，得a 1+a 2+2a 3=3∴a 3=猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。

当n =1时,a 1=1-,(1)式成立假设,当n =k 时,(1)式成立,即a k =1-成立， 则当n =k+1时,a k+1+S k+1=k+1,S k+1=S k +a k+1 ∴2a k+1=k+1-S k 又a k =k+S k ∴2a k+1=1+a k ∴a k+1=1211)2111(21)1(21+-=-+=+k k k a 即当n =k+1时,猜想（1）也成立。

所以对于任意自然数n ,都成立。

解法2：由a n +S n =n 得，两式相减得：，即，即，下略【例8】 设数列是首项为1的等差数列，数列是首项为1的等比数列，又5479261)(432===∈-=c c c N n b a c n n n ，，，且。

(1)求数列的通项公式与前n 项和公式；(2)当时，试判断c n 的符号（大于零或小于零），并给予严格证明。

解：(1)设数列的公比为q11)1(1)1(-=-+=-+=∴n n n q b d n d n a a ，)(])1(1[1N n q d n b a c n n n n ∈--+=-=-由条件得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=-+=-+547313421922161132q d q d q d q d)()34()1(21)34()]1(211[11N n n n c n n n ∈-+=--+=∴--])34()34()34[()]1()12()11[(2110-+++-++++++=n n n S ……)(334)3(411341)34(]2)1([211N n n n n n n n n n ∈+-+=---++=-(2)050)34(270)34(35645<≥<-=<-=n c n c c ，猜想…，，证明：①当n =5，c 5<0命题成立②假设当0)34()1(210)5(1<-+<≥=-k k k c k k n ，即时，03421])34(3121[])34()1(21[)34()2(2154111<-<-+-+=-+=--+k k k k k k c 当也成立由①，②对一切n 5，都有c n <0。

【例9】 是等差数列，数列满足{}n n n n n n b S N n a a a b 为，)(21∈⋅⋅=++的前n 项和。

(1)若的公差等于首项a 1，证明对于任意自然数n 都有；(2)若中满足，试问n 多大时，S n 取得最大值？证明你的结论。

解：(1)当11141114)3(4,1b dd a b d a b b S n =+===时，∴原命题成立 假设当成立 则ddb a a a a d d b a b b S S k k k k k k k k k k k 444413211311⋅+⋅=⋅+=+=++++++++da b d d a b d d b b a k k k k k k k 44)4(4441111+++++=+=+=da b S N n k n n n n 413+=∈+=∴有意时命题也成立，故对任当 (2)由d a d a a a a 556)7(8383555125-=∴+==，有0541255612517<=+-=+=d d d d a a ……181714210b b b b b >>>>> 001817161617161515>=<=a a a b a a a b ， 1615151411314S S S S S S S <>>>>∴，，…d d a a d d a a 59135610518515=+=-=+=，又14161615161518150,|||,|S S b b b b a a >∴>+<∴<∴故中最大【例10】 已知数列的前n 项和为S n ，满足条件)2lg(lg )1(lg 1-+=-++n b b n S n n ，其中b >0且b 1。