无锡市第一中学2021届高三十月考试卷（演示版）
高三数学
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2020.10
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z 1在复平面内对应的点为(1，3)，z 2=−2+i （i 为虚数单位），则复数z 1z 2的虚部为()A.75 B.−75 C.75i D.−75
i 2.不等式x 2−x ⩽0解集为M ，函数f (x )=ln (1−|x |)的定义域为N ，则M ∩N
()A.(−1，0] B.(0，1) C.[0，1] D.[0，1)
3.已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(0<a <3)，若x 1<x 2，x 1+x 2=1−a ，则
()A.f (x 1)<f (x 2) B.f (x 1)=f (x 2)
C.f (x 1)>f (x 2)
D.f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定
4.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：M (t )=M 02−t 30，其中M 0为t =0时铯137的含量．已知t =30时，铯137含量的变化率是−10ln 2（太见克/年），则M (60)()
A.5太贝克
B.75ln 2太贝克
C.150ln 2太贝克
D.150太贝克5.已知y =f (x )是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )=lg x ，设a =f Å65ã，b =f Å32ã，c =f Å52ã，则()
A.a <b <c
B.b <a <c
C.c <b <a
D.c <a <c 6.将函数y =2sin x 3+π6 的图像上的所有点向左平移π4个单位，再向上平移3个单位，得到函数y =g (x )的图像，则y =g (x )的解析式为()A.g (x )=2sin x 3−π4 −3 B.g (x )=2sin x 3+π4 +3C.g (x )=2sin x 3−π12 +3 D.g (x )=2sin x 3−π12
−37.已知a ，b 为正实数，直线y =x −a 与曲线y =ln (x +b )相切，则1a +1b 的最小值是()
A.2
B.4√2
C.4
D.2√28.对于函数y =f (x )，若在定义域内存在实数x ，满足f (−x )=−f (x )，称y =f (x )为“局部奇函数”．若
f (x )=4x −m 2x +1+m 2−3为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是()A.1−√3⩽m ⩽1+√3 B.1−√3⩽m ⩽2√2 C.−2√2⩽m ⩽2√2 D.−2√2⩽m ⩽1−√3
二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.下列有关命题的说法正确的是()
A.∃x ∈(0，π)，使得2sin x +sin x =2√2成立
B.命题p ：∀x ∈R ，都有cos x ⩽1，则¬p ：∃x 0∈R ，使得cos x 0>1
C.函数f (x )=√x +1·√x −1与函数g (x )=√x 2−1是同一个函数
D.若x 、y 、z 均为正实数，且3x =4y =12z ，x +y z ∈(n ，n +1)(n ∈N )，则n =410.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设
企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f (t )，用−f (b )−f (a )b −a 的大小评价在[a ，b ]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中正确结论为()
A.在[t 1，t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B.在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C.在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D.甲企业在[0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]这三段时间中，在[0，t 1]的污水治理能力最强
11.对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有()
A.若sin 2A =sin 2B ，则△ABC 是等腰三角形
B.若△ABC 是锐角三角形，则不等式sin A >cos B 恒成立
C.若sin 2A +sin 2B +cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形
D.若AB =√3，AC =1，B =30°，则△ABC 的面积为√34或√3212.已知函数f (x )=A sin (ωx +φ) A >0，ω>0，|φ|<π2 的图象如图所示，令g (x )=f (x )+f ′(x )，则下列关于函数g (x )的说法中正确的是()A.函数y =g (x )图象的对称轴方程为x =k π−π12(k ∈Z )B.函数y =g (x )的最大值为2√2
C.函数y =g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：y =3x −1平行
D.方程g (x )=2的两个不同的解分别为x 1，x 2，则|x 1−x 2|最小值为π2
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数f (x )=kx −ln x 在区间(1，+∞)内不单调，则实数k 的取值范围是
.14.若1+tan α1−tan α=2020，则1cos 2α+tan 2α=.
15.一元二次不等式ax 2+2x +b >0(a >b )的解集为ßx x =−1a ™，则a 2+b 2a −b
的最小值为.16.定义方程f (x )=f ′(x )的实数根x 0叫做函数y =f (x )的“新驻点”．
(1)设f (x )=sin x ，则f (x )在(0，π)上的“新驻点”为；
(2)如果函数g (x )=ln (x +1)与h (x )=x +e x 的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是
.
四.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知命题p ：x 2−(3+a )x +3a <0，其中a <3；命题q ：x 2+4x −5>0．
(1)若命题p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；
(2)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.(本小题满分10分)已知函数f (x )=sin 2x +√3sin x sin x +π2
．(1)求函数y =f (x )的单调增区间；(2)求函数y =f (x )在区间ï0，2π3ò上的取值范围．19.(本小题满分12分)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为BC 边的中点，△ABC
的面积为AD 2
3sin B
．(1)求sin ∠BAD ·sin ∠BDA 的值；(2)若BC =6AB ，AD =2√2，求b ．
20.(本小题满分12分)中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定
开发一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需另投入成本c (x )（万元），
当年产量不足80台时，c(x)=1
2
x2+40x（万元）；当年产量不小于80台时，c(x)=101x+
8100
x
−2180（万
元）．若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备全部售完．
(1)求年利润y（万元）关于年产量x台的函数关系式；
(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x+1
2
x2+ax(a∈R)，g(x)=e x+
3
2
x2−x．
(1)当a=−4时，求函数y=f(x)的极值；
(2)定义：对于函数y=f(x)，若存在x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为函数的不动点.
如果函数F(x)=f(x)−g(x)存在不动点，求实数a的取值范围．
22.(本小题满分12分)设f(x)=x sin x+cos x，g(x)=x2+4．
(1)讨论y=f(x)在[−π，π]上的单调性；
(2)令h(x)=g(x)−4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．。