函数的解析式以及定义域的求法
一：学生情况及其分析：上海高一学生，不等式学完了，国庆没有上课，这节课给她巩固求解析式的方法，思维灵活，自己动手能力挺好，所以有些例题有留给她一定的思考空间。
二：教学目的：
1.学习函数的表示方法中的解析式的求法，
2.会求解简单函数以及复合函数的定义域
三：教学设计：
1，教学回顾：函数的概念是什么？函数的三要素是什么？函数的表示方法有哪些？
2，教学过程：
一、解析式的求解
（一）换元法：
已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),再求出f(t)可得f （x ）的解析式。
换元后要确定新元t 的取值范围。
例1．若x
x x f -=1)1(,求)(x f . 分析：怎么能由)1(x
f 的解析式得到)(x f 的解析式，他们的联系是什么？ 练习1．已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
练习2.已知)
123f x =+，求()f x 的表达式。
思考：已知2
21)1
(x x x x f +=+，求()f x 的表达式。
分析：题型好像和上面一样，是不是能用同样的方法做出来？
（二）配凑法：
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。
一般的利用完全平方公式
例2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .
分析：观察怎么才能得到f(x)？
练习1．已知)
123f
x =+，求()f x 的表达式。
（三）待定系数法：
已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数
例3. 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f
分析：对于一次函数的解析式，我们是不是很熟悉，那能不能先设出他的一般形式呢？
练习1．已知f (x )是二次函数，且满足f (x +1)+f (x －1)=2x 2－4x ，求f (x )．
练习2.已知一次函数()f x ，()()1223f x f x x -+=+，求函数()f x 的解析式。
（四）解方程组法:
求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式
例4． 设,)1(2)()(x x
f x f x f =-满足求)(x f 分析：我们用1/x 去代替x 试试看有什么惊人的效果！
练习1.若x x
x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . （五）特殊值法;
一般的，已知一个关于x,y 的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y ，得出关于x 的解析式。
例5：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，
求)(x f
分析：题干中信息太少？就用你能看得见的条件呗，那令谁等于0呢？
练习1.函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0.求f(x)的解析式。
练习2.已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。
（六）代入法：
求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例6.已知：函数)(2
x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 分析：两点关于某点对称时有什么特征？
练习1.设函数f(x)=x+x 1的图像为C 1，C 1关于点（2
，1）对称的图像为C 2，求C 2对应的函数g(x)的表达式。
（七）图像法;
观察图像的特点和特殊点，可用代入法，或根据函数图像的性质进行解题。
注意定义域的变化。
例7．图中的图象所表示的函数的解析式为（ B ）
Ａ．312y x =- (02)x ≤≤ Ｂ．33122
y x =-- (02)x ≤≤ Ｃ．312y x =-- (02)x ≤≤ Ｄ．11y x =-- (02)x ≤≤ 分析：数形结合是重要的数学思想，怎么把图和解析式结合在一起？
练习1.如下图，函数图象是两个部分抛物线构成，求函数的解析式
二、求函数的定义域问题
（一）函数定义域就是使函数的表达式有意义时自变量的取值范围，一定用集合或区间表示函数的定义域；
32 y x 1 2
O 第7题图
(二)已知函数的解析式（具体函数），求定义域问题的类型：
（1）若解析式是整式，则函数的定义域为全体实数R ；
（2）若解析式中含有分式，则分母不为零；
（3）若解析式中含有偶次根式，则被开方数为非负；
（4）若解析式中含有0x ，则底数x 不为零；
（5）若解析式中含有对数式，则真数大于零，底数大于零且不等于1；
（6）实际问题中不仅要考虑解析式的意义，还应该注意其实际意义；
（7）若解析式中含有以上某几种情况，则应该去它们的交集；
例1．求下列函数的定义域
（1）()f x =2）0
()f x
=y =
分析：已知解析式求定义域的时候我们需要注意什么？
练习1.函数y =的定义域为 （ ）
A 、[4,1]-
B 、[4,0)-
C 、(0,1]
D 、[4,0)(0,1]-
练习2.函数y =的定义域为（ ）
A 、{|0}x x ≥
B 、{|1}x x ≥
C 、{|1}{0}x x ≥
D 、{|01}x x ≤≤
(三)抽象函数的定义域问题：
（1） 类型一：已知()y f x =定义域为A ，求[()]f g x 定义域问题
【解法】只要解关于x 的()g x A ∈不等式即可
（2） 类型二：已知[()]y f g x =定义域为A ，求()y f x =的定义域问题
【解法】已知x A ∈，求函数()y g x =的值域即可
例2.已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ）
A ．(1,1)-
B ．1(1,)2
-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2 分析：外函数的定义域和符合函数的定义域之间有什么关系？
例3.已知函数(1)y f x =+定义域为[2,3]-，求函数2(22)y f x =-的定义域 分析：观察这两个函数有什么关系？
练习1.设)(x f 的定义域是[－3，2]，求函数)2( x f 的定义域
练习2.已知函数3+=
)1+2(x x f ，求)1+2(x f 和)(x f 的定义域．
课堂总结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围的变化，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义。
求出的函数的解析式最后要写上函数的定义域，这是容易遗漏和疏忽的地方。
此外，对于抽象函数定义域一定要仔细辨析两种类型。