用基本图形分析法证几何题
—— 谢老师
无论多复杂的几何图形，拆散后都是由一些基本图形组成的。

因此，利用基本图形的特性分析证明几何题就能起到化难为易、简明快捷的作用。

下面略举几例：
基本图形一：角平分线+平行线 等腰三角形出现
例1、已知，如图，△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线交于M 。

过M 的平行线分别交AB 、AC 与E 、F 。

求证：EF=BE ﹣CF
例2、如图，已知，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 边上的中点，MF ∥DA 交AB 和CA 的延长线于E 、F 。

求证：BE=CF=2
1
(AB+AC)
例3、已知，如图，□ABCD 中，AB ＞AD ，∠A 、∠D 的平分线交于E ，∠B 、∠C 的平分线交于F 。

求证：EF=AB ﹣AD
C
变式练习：
1、如图，已知，□ABCD 中，AD=2AB ，将AB 向两方分别延长至E 、F ，使AE=AB=BF ，
求证：CE ⊥DF
2、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 中点。

求证：AE 、BE 分别是∠DAB 和∠ABC 的平分线
3、已知，(1) 如图，E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，F 是CE 中点，
求证：∠BAF=2∠DAE
(2)、如图，正方形ABCD 中，E 是BC 中点，F 是CD 上的一点，且AF=FC+CB 。

求证：BE 平分∠CBF
C
E F
基本图形二：角平分线+角平分线的垂线 等腰三角形出现
例4、如图，△ABC 中，BC=3AB ，BO 是角平分线，CD ⊥BO 交BO 的延长线于D 。

求证：DO=BO ，
变式练习
如图，已知，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是角平分线，CE ⊥BD 于E 。

求证：BD=2CE
例5、如图，已知，△ABC 中，BD 、CE 是角平分线，AF ⊥CE 于F ，AG ⊥BD 于G 。

求证：（1）FG ∥BC ； （2）FG=2
1
(AB +AC ﹣BC)
C
变式练习
（1）如图，已知，BD 、CE 是△ABC 的∠B 、∠C 的外角平分线，AF ⊥BD 于F ，AG ⊥CE 于G ，
求证：（1）FG ∥BC ； （2）FG=
2
1
(AB +BC +AC)
(2)、如图，已知，△ABC 中，BE 、BF 分别是∠B 和∠B 的外角平分线，AG ⊥BF 于G ，AH ⊥BE 于H ，过G 、H 的直线分别交AB 、AC 于M 、N 。

求证（1）四边形AGBH 是矩形； （2）MN=2
1
BC
（3）、已知，如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是角平分线，E 是BC 的中点，EF ⊥AD 交AD 、AB 的延长线于F 、G 。

求证：BD=2BG
C
A
G
基本图形三：用平行线证比例线段
例7、如图，已知，C 、D 、E 、F 是∠AOB 的两边上的四点，且OC ∶OD=CE ：DF ， CE 、DF 的延长线交于G 。

求证：GE=GF
例8、如图，△ABC 中，直线MN 分别交边AB 、AC 于F 、E ，交BC 的延长线于D ，
求证：BF AF ·CD BD ·AE
CE
=1
例9、已知，△ABC 中，D 是AC 边上的一点，CD AD =2
1
，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F 。

求证：
3
1
CF BF
O G
A
N
C
变式练习
1、已知，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且3
2
,43AE CE BD AD =，DE 的延长线交BC 的延长线于F 。

求证：
10
7
=DF EF
2、如图，已知，△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 上的任意一点，CE 的延长线交
AB 于F 。

求证：
BF
AF
DE AE 2=
3、已知，PA 与⊙O 相切于A ，割线PBC 过O 且与⊙O 相交于B 、C ，AD ⊥BC 。

求证：CD
OB
PC PO =
D A
C。