不等式的性质与绝对值不等式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法； 教学难点： 理解绝对值不等式的解法1、基本不等式2ba ab +≤(1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． 2、几个重要的不等式).0(2);,(222>≥+∈≥+ab baa b R b a ab b a),(2)2();,()2(2222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤3、算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2ba +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4、利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.42p (简记：和定积最大)． 5、若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用6、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a7、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或0类型一： 基本不等式的性质例1. 已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18B ．36C ．81D ．243解析：因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18 答案：A练习1. 若,2,0,0=+>>b a b a 则下列不等式对一切满足条件的b a ,恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)． ① 1≤ab ②2≤+b a ③222≥+b a ④322≥+b a⑤.211≥+ba 答案：①③⑤练习2. 已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是________． 答案：4例2：求函数15()22y x =<<的最大值解析：注意到21x -与52x -的和为定值。

2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。

故max y =答案：max y =练习3. 求下列函数的值域22132y x x=+ 答案：值域为[6 ，+∞）练习4. 求下列函数的值域1y x x=+答案：值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 类型二：绝对值不等式的性质及其解法 例3. 解不等式392+≤-x x解析：原等式等价于39)3(2+≤-≤+-x x x ⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔4323x x x 或423≤≤-=⇔x x 或∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或 答案：原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或练习5. 解不等式32<-x答案：{}51<<-x x练习6. 解不等式532<+<-x 答案：{}|82x x -<<例4. 解不等式123x x ->-。

解析：原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423x <<。

答案：423x << 练习7. 解不等式125x x -++< 答案：原不等式的解集为{}23<<-x x练习8. 解关于x 的不等式212+<-x x答案：原不等式的解集为)3,31(-1. 已知,0,0>>y x y b a x ,,,成等差数列y d c x ,,,成等比数列，则cdb a 2)(+的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案：D2. 若直线),0,0(02>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为( ) A.14 B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2 答案：C3. 若,0,0>>y x 且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是________4. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域 答案：[)9,+∞ 5. 解不等式22x xx x >++的值。

答案：原不等式等价于2xx +＜0⇔()2020x x x +<⇔-<< 6.解不等式 x x 3232->-的值。

答案：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3C ．3D ．4答案：C2. 已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2yxz的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8C ．最小值为18D ．最大值为18答案：D3. 函数xx y 1+=的值域为____________________． 答案：(][),22,-∞-⋃+∞4. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． 答案：45. 若,0,0>>y x 满足,53xy y x =+则y x 43+的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6答案：C6. 已知,0,0>>b a ,1222=+b a 则21b a +的最大值为________．答案：47. 下列不等式一定成立的是( ) A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(212R x x x ∈≥+ D.)(1112R x x ∈>+ 答案：C8. 设,0,0>>b a 且不等式011≥+++ba kb a 恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4C ．－4D ．－2答案：C9. 已知M 是ABC ∆内的一点，且AB u u u r ·AC uuur ＝23，,300=∠BAC 若MCA MBC ∆∆,和MAB ∆的面积分别为,,,21y x 则y x 41+的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．19答案：B10. 已知,1log log 22≥+b a 则b a 93+的最小值为________ 答案：1811. 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值 答案：190,0,1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y +=12. 若a x x >+++12恒成立，求实数a 的取值范围。

答案：由几何意义可知，12+++x x 的最小值为1，所以实数a 的取值范围为()1,∞-13. 数轴上有三个点A 、B 、C ，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M ，使它到A 、B 、C 三点的距离之和最小。

答案：设M (),0x则它到A 、B 、C 三点的距离之和()521-+-++=x x x x f即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<≤-+-<≤+≥-=1,6321,852,45,63x x x x x x x x x f由图象可得：当()62min ==x f x 时 14. 解关于x 的不等式10832<-+x x答案：原不等式等价于1083102<-+<-x x ，即⎩⎨⎧<-+->-+1083108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---Y15. 解关于x 的不等式2321>-x答案：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧<-≠-2132032x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≠474523x x能力提升16.已知两条直线m y l =:1和),0(128:2>+=m m y l 1l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点C 、D ,记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为.,b a 当m 变化时，ab的最小值为( ) A ．16 2 B ．8 2C ．348D ．344答案：B17.对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( ) A ．k<3 B.k<-3 C.k ≤3 D.k ≤-3答案：B 18.函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象过定点,A 若点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求nm 11+的最小值； 答案：419.若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围 答案：9ab ≥ 20. 解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈答案：⑴ 当012≤-m 时，即21≤m，因012≥-x ，故原不等式的解集是空集。