u v 时，有dz z dx z dy .
x y
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy
z u dx u dy u x y
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
类似地再推广，设u ( x, y) 、v ( x, y) 、
第四节 复合函数微分法与隐函 数微分法
1、多元复合函数微分 2、全微分形式的不变性 3、隐函数微分法
一、链式法则
定理 如果函数u (t) 及v (t ) 都在t点 可
导，函数 z f (u,v) 在对应点(u,v) 具有连续偏
导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应t点 可
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t vet usin t cos t et cos t et sin t cos t
et (cost sin t) cost.
例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
z v dx v dy v x y
z du z dv. u v
例 4 已知exy 2z e z 0，求z 和z . x y
解 d(exy 2z ez ) 0,
exyd( xy) 2dz ezdz 0,
(ez 2)dz exy ( xdy ydx)
dz
ye xy (ez 2)
x
y
z
六、 2 z x 2
f11
2 y
f 12
1 y2
f 22 ,
2z
xy
x y2
(
f 12
1 y
f 22 )
1 y2
f 2,
2z 2x
y 2 y 3
f 2
x2 y4
f 22 .
八、 2 z x 2
11 (1 )2
1 ,
2z y 2
11 ( )2
12
1
21
22 .
(x2 y2)y2
,
z y
[2 y
x
2y2 (x2
x y2
xy
]e ( x2 y2 ) . )
三、 dz e x (1 x) . dx 1 x 2e 2x
四、 z x
2 xf1
ye xy
f
2
,
z y
2 yf1
xe xy
f 2.
五、u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
例 1 设z eu sin v ，而u xy ，v x y ， 求 z 和z . x y
解 z z u z v x u x v x
dx
xe xy (ez 2)
dy
z ye xy
x
ez
, 2
z y
xe xy
ez
. 2
三、 隐函数微分法
三、小结
1、复合函数求导的链式法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性
（理解其实质）
3、隐函数微分法
思考题
设z f (u,v, x)，而u ( x) ，v ( x)，
则 dz f du f dv f ， dx u dx v dx x
试问dz 与f 是否相同？为什么？ dx x
思考题解答
不相同.
等式左端的z 是作为一个自变量x 的函数，
而等式右端最后一项f 是作为u, v, x 的三元函数，
写出来为
dz dx
x
f u
(u,v ,x )
du dx
x
f v
(u,v ,x )
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1
f
(u,v) , u
f12
2 f (u,v) , uv
同理有 f2, f11, f22 .
w f u f v
x
u x v x
f1 yzf2;
2w xz
z
(
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz f2; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
x
y
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
z f u f . y u y y
别 类 似
f11 xyf12;
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
二、全微分形式不变性
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv ;当u ( x, y)、v ( x, y)
数),求z , z . x y
五、设u f ( x xy xyz) ,(其中f具 有一阶连续偏导 数),求u , u , u . x y z
六、设z f ( x, x ),(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y
2z 2z 2z x 2 , xy , y 2 .
七、设z
y , 其中为可导函数,
y cos2 x
y 2 cos2 x
2、2 x ln(3 x 2 y) 3 x 2 ,
y2
(3x 2 y)y2
2x2 ln(3x 2 y)
2x2
；
y3
(3x 2 y)y2
3、 3(1 4t 2 ) . 1 (3t 4t 3 )2
二、 z x
[2x
y
2x2 y
xy
]e x2 y2
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z uuΒιβλιοθήκη z vv1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
u du , t dt
v dv , t dt
dz lim z z du z dv . dt t0 t u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
eu sin v y eu cosv 1 eu( ysinv cosv),
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1 eu( xsinv cosv).
例 2 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
dv dx
x
f x
. (u,v , x )
练习题
一、填空题:
1、设z x cos y ,则z ________________； y cos x x
z ________________. y
2、设z
x2
ln(3 x y2
2 y) ,则z x
_______________；
z ________________. y
3、设z esint2t3 ,则dz ________________. dt
二、设z
v
ue u ,而u
x2
y2,v
xy ，求z
, z
.
x y
三、设z arctan(xy),而y e x ,求dz . dx
四、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具 有一阶连续偏导
f (x2 y2)
验证: 1 z 1 z z . x x y y y 2
八、设z [ x ( x y), y],其中 , 具有二阶导数,求
2z 2z x 2 , y 2 .
练习题答案
一、1、cos y(cos x x sin x) , x cos x( y sin y cos y) ；
w w( x, y)都在点( x, y) 具有对x 和y 的偏导数，复合
函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)
两个偏导数存在，且可用下列公式计算