习题1-3
★
1．
观察一般项

nx如下的数列n

x
的变化趋势，写出它们的极限：

（1）nnx31； （2）nxnn11； （3）312nxn； （4）22nnxn；
（5）nxnn1
知识点：
数列定义。

思路：
写出前几项，观察规律。

解：
（1）811,271,91,310；

（2）0,51,41,31,21,1；
（3）2,12512,6412,2712,812,12；
（4）1,10011,541,441,341241nxn；
（5）,4,32,1 。
★★
2．利用数列极限定义证明：
（1） 01limknn（k为正常数）； （2）431431limnnn； （3）0sin22lim2nnnn。

知识点：
极限定义。

思路：
按定义即可。

证明：
（1） 01limknn：对任意给定的正数，要使＊01kn，即nk11，只要取











kN

1
1


，则对任意给定的0，当Nn时，就有01kn，即01limknn

（注，只要保证N的取值能够让N以后的所有项的值满足＊式即可，因此N可取大于或等于k11
的整数）；
（2）431431limnnn：对任意给定的正数，要使＊31374144(41)nnn，只要
7416n

，∴取1647N，则对任意给定的0，当nN时，就有431413nn，

∴431431limnnn
（3） 0sin22lim2nnnn
证明：
由于21220sin2222nnnnnn，

因此对任意给定的正数，要使0sin222nnn，只要21n，即12n
（计算时为方便不妨设2n，因为前面的有限项对极限无影响）
取21N，则对任意给定的0，当nN时，就有0sin222nnn，

∴ 0sin22lim2nnnn
★
3．
设数列



nx的一般项2cos1nnxn。问?limnnx求出N，使得当nN时，n
x
与其极

限之差的绝对值小于正数。当0010时，求出N。
知识点：
数列极限定义

思路：按
极限定义即可

解
： 观察可得： 02cos1limnnn，证明该结果如下：

由于nnn102cos1，因此对任意给定的正数，要使02cos1nn，只要n1，即
1
n
，取1N（N取大于或等于1的整数都可以），则对任意给定的0，当
Nn

时，就有02cos1nn ，∴02cos1limnnn。
当0010时，可取1000N。
★
4．
设

2sin11nn

an
，证明数列na没有极限
。

知识点：判定数列极限不存在的方法
思路：
若某数列极限为A，则其任意子列的极限都为A，因此，若某两个子列极限不同，则说明原数列
极限不存在。
证明
：令Nkkn,2，则得子列22sin2112kkak，当n时，k；

则klim22sin211kk0；
取另一个子列Nkkn,14，
得2)14(sin141114kkak22sin1411kk，

当n时，k，则klim214sin1411kkklim1411k1；
综上，原极限不存在。
★
5．
设数列



n
x
有界，又0limnny，证明：0limnnnyx。

知识点：
数列有界及数列极限定义

思路：有条件可知nxM；
1ny，如何让两者结合，证明nn

yx

成立，是解决问题的关键。

证明：
①数列nx有界，则存在正常数M，使对任意n，都有nxM，则nnnxyMy；

②0limnny，则对任意正数1，存在N，当nN时，有1ny；
则对于任意正数，取1M,由②可知：存在自然数N，当Nn时，有1nyM，
从而有：nnxyMM，
∴0limnnnyx
★
6．
对数列



n
x
，若axkk12lim，axkk2lim，证明axnnlim。

知识点：
子列极限和原数列极限的对应关系；

思路：
对0，根据条件，寻找使nxa成立的n的范围。

证明：
对于0，由axkk12lim，则存在1N，当1N1-2k时，axk12；

由axkk2lim，则存在2N，当2N2k时，axk12；
取21,maxNNN，当nN时，（无论12kn还是kn2）
都有axn，即axnnlim。