勾股定理拓展与拔高勾股定理拓展与拔尖二.知识点回顾1、勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c2与a2b2是否具有相等关系（3）若c2= a2b2，则△ ABC是以/ C为直角的直角三角形；若c2工a2b2 则厶ABC不是直角三角形。
3.勾股数：满足a2b2= c2的三个正整数，称为勾股数如（1）3, 4, 5; （2）5, 12，13; （3）6, 8, 10; （4）8, 15, 17 （5）7, 24, 25 （6）9, 40, 41三.典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一证明三角形是直角三角形1、在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点,1且EC= 4 BC,求证：EFA=90 .FE针对训练：1、已知：在厶ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判断△ ABC的形状.考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ ABC中，底边BC= 20, 为AB 上A 一点，CD = 16, BD = 12, 求厶ABC的周长。
针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD , AD II BC, AB=4, BC=6, CD=5, AD=3.求：四边形ABCD的面积. yA考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABC冲，AB=3 BC=5在CD上任取一点E，连接BE将厶BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6 , CD=3，将ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1考点四勾股定理的卡车通过大门问例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以的半圆，其中AD = 2.3 m，AB = 2 m，现有一辆装满货物的大卡车，宽1.6m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由.题AB为直径高 2.5C考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10 cm,宽为4 cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF 与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.针对训练：1观察下列图形，回答问题：问题（1 ）:若图①中的△ DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为。
问题（2 ）:如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是 ____________________ ；（用图中字母表示）问题（3）:如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆,请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积.考点六勾股定理的设计问题例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分•请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.针对训练：1如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD —AB , BC垂直AB ,垂足分别为A、B, AD=24 千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？考点七勾股定理的最短路径问题例、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm •（结果保留n）针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（A . 5cmB . 5.4cm C. 6.1cm D . 7cm/rXIzZ7考点八勾股定理的勾股数问题常见的勾股数及几种通式有：（1）（3，4，5）, （6，8，10）..... 3n,4n,5n （n 是正整数）⑵（5, 12, 13）, （7 , 24, 25）, （9 , 40, 41）……⑶（8 , 15, 17）, （12 , 35, 37）……⑷m2—n2,2mn,m2+ n2（m、n均是正整数，m>n）简单列出一些：课堂小测试（8分钟）1. 一个直角三角形，有两边长分别为6和8,下列说法中正确的是（）A.第三边一定为10B.三角形的周长为24C.三角形的面积为24D.第三边有可能为102 •已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7 或253•下列各组数中，以a, b, c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1.5, b=2, c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6, b=8, c=10D、a=3,b=4,c=53•三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）A.等边三角形；B. 钝角三角形；C. 直角三角形；D. 锐角三角形•4、一个三角形的三边的长分别是3, 4, 5,则这个三角形最长边上的高是（）A. 4B. 10C.5D. 123 2 55.已知Rt△ ABC中，/ C=90，若a+b=14cm c=10cm 贝U Rt△ ABC的面积是（）2 2 2 2A、24cmB、36cmC、48cmD、60cm6.直角三角形中，斜边长为5cm，周长为12cm,则它的面积为（）。
2 2 2 2A. 12cmB. 6cmC. 8 cmD. 9cm7.等腰三角形底边上的高为6,周长为36,则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、328.Rt△一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则Rt△的周长为（）A、121B、120C、90D、不能确定9 .已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里10.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）。
A、600米B 、800米C 、1000米 D 、不能确定勾股定理独立作业（20分钟）1.下列各组数据中，可以构成直角三角形的是（）A. 13、16、19 B . 17、21、23 C . 18、24、36 D . 12、35、372.有长度为9cm 12cm 15cm 36cm 39cm的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（）A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个3 .在△ ABC中, AB=12cm BC=16cm AC=20cm 贝U S^BC为（）6.有下面的判断:2 2 2 ③ 若△ ABC 中, a -b 二c ,则厶ABC 是直角三角形2④ 若△ ABC 是直角三角形，贝U（a +b ）（a - b ）= c。
以上判断正确的有（ ） A. 4个 B . 3个9 .在△ ABC 中，女口 AB=2BC 且/ B=2/ 人，则厶 ABC >(A.锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 10 .如图是一个边长为 60cm 的立方体ABC —EFGH —只甲虫在菱 EF 上且距F 点10cm 的P 处, 它要爬到顶点D,需要爬行的最近距离是（ ）2A. 96cm B . 120 cm 2 2C. 160 cmD. 200 cm 24 •若线段a 、b 、c 能组成直角三角形, 则它们的比可以是（A. 1 : 2 : 4 B . 1 : 3 : 5 CD . 5 : 12 : 13 5 •若直角三角形的两直角边的长分别是 10cm 24cm 则斜边上的高为（17cm240 C . 13 cm D 12013 cm2 2①厶 ABC 中, a b则厶ABC 不是直角三角形 ② 厶ABC 是直角三角形，/ 2 2 2C=90°,贝U a b =c o7. Rt △ ABC 的两边长分别是 积是（） 3和4,若一个正方形的边长是厶ABC 的第三边,则这个正方形的面 A. 25 B . 7 C .12 D . 25 或 7 8.—个三角形的三边之比是 3 : 4 : 5,则这个三角形三边上的高之比是（A. 20 ： 15 ： 12 B . 3 : 4 : 5 C . 5 : 4 : 3D . 10 : 8 : 2 D .不能确定11 .D.不确定若厶ABC中，/ A=2Z B=3/ C,则此三角形的形状为（）A . 锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .无法确定12.如图，△ ABC中，/ C=90°, AD平分/ BAC DEL AB于E,下面等式错误的是（）A.2 2 1 2 AC2+DC2=AD2B. AD2—DE2=AE2 C. AD2=DE2+AC2D BD_ B E=4BC。