D
A
CF D
图6
B
C
9. 已知，如图，△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 AC 于 D， AD ＝ 8，∠ A ＝ 30°，求 CD 的长。
C D
A
E
B
10、如图 11，在△ ABC 中，∠ A＝ 90°， AB ＝AC ， D 为 BC 边中点， E 、 F 分别在 AB 、
B
C
D 4 已知，如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ，D 是 AB 上一点， E 是 AC 延长线上一点， DE 交 BC
于 F，又 BD＝ CE，求证： DF＝ EF
A
D
B
C
F
E
5. 如图， P 是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA、 PB、PC， ?以 BP 为边作∠ PBQ=60°，且 BQ=BP，连结 CQ．观察并猜想 AP与 CQ之间的大小关系，并证明你的结论．ຫໍສະໝຸດ A DBEC
例例 4 、如图 9 ，已知 AD 为△ ABC 的高， E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于 F ，且有 BF ＝ AC ，
FD ＝CD ，你认为 BE 与 AC 之间有怎样的位置关系 ? 你能证明它吗？
证明：线段 BE ⊥ AC ，理由如下：
∵AD ⊥ BC ，∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝ 90°，
B
D
C
图5
证明：过 E 作 EF ⊥ CD 于点 F， ∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ B＝ 60°，∴∠ BEF ＝ 30°， ∴BE ＝ 2BF ，即 BA ＋ AE ＝ BC ＋ BD ＝2BC ＋ CD ＝ 2（ BC ＋CF ）， ∴CD ＝ 2CF ， ∴ CF ＝ DF ，
在△ CEF 和△ DEF 中， CF ＝DF ，∠ CFE ＝∠ DFE ＝ 90°， EF ＝ EF ，
AC 上，且 DE ⊥DF ，求证： AE ＋ AF 是一个定值 .
A
F
E
C
B
D
图 11
已知，如图，△ ABC 是等边三角形， E 是 AB 上一点， D 是 AC 上一点，且 AE ＝CD，又 BD 与 CE 交于点 F，试求∠ BFE 的度数。
A
E
D
F
B
C
6. 已知，如图，△ ABC 中，∠ B ＝ 90°， AC 的垂直平分线交 AC 于 D，交 BC 于 E，又∠ C＝ 15°， EC＝ 10，求 AB 的长。
6，已知，如图， AB ＝AC ＝ CD ，求证：∠ B＝ 2∠ D A
B
C
D
E
7、如图 6 ，在等边△ ABC 中， D、E 分别在边 BC 、BA 的延长线
上，且 AE ＝ BD ，求证： CE ＝ DE .
A
B
8·已知，如图，△ ABC 是等边三角形， AD//BC ，AD ⊥ BD ，BC ＝6，求 AD 的长。
即 BE ⊥ AC .
图9
D
C
例 1、如图 5 ，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 O 在△ ABC 内， OB
A
＝OC ，求证： AO ⊥ BC .
证明：延长 AO 交 BC 于点 D，
O
∵AB ＝ AC ， OB ＝OC ， OA ＝OA ，∴△ ABO ≌△ ACO ， ∴∠ BAO ＝∠ CAO ，即∠ BAD ＝∠ CAD ， ∴AD ⊥ BC ，即 AO ⊥ BC .
5、如图， AB=AC ，∠ ABD= ∠ ACD ，请你说明 AD 是 BC 的中垂线。 A
B
C
D
1．等腰三角形 ABC中，AB=AC，一腰上的中线 BD?将这个等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
2、如图，在△ ABC 中，∠ B 和∠ C 的平分线相交于点 O，且 OB=OC ，请说明 AB=AC 的
理由。
A
O
B
C
3· .已知， AB ＝ AC ，∠ ABD ＝∠ ACD ，求证： DB ＝ DC A
A
∴∠ FBD ＋∠ BFD ＝90°，
在 Rt △BDF 和 Rt△ ADC 中， BF ＝ AC ，FD ＝CD ， ∴Rt △ BDF ≌ Rt △ ADC ， ∴∠ BFD ＝∠ C ，∴∠ FBD ＋∠ C＝ 90°，
E F
∴∠ BEC ＝ 180°－（∠ FBD ＋∠ C）＝ 180°－ 90°＝ 90°， B