山西省朔州市应县四中高二数学学案（十一）等差数列与等比数列编写人：朱强基考纲要求1理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n 项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

重点、难点归纳1数列的有关概念数列：按照一定的次序排列的一列数。

通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系如果能够用一个解析式来表示，则这个解析式就叫做这个数列的通项公式。

2数列的表示法列举法：如a 1，a 2，a 3，…，a n ，… 图象法：用孤立的点(n ，a n )来表示 解析法：即用通项公式来表示递推法：一个数列的各项可由它的前m 项的值以及与它相邻的m 项之间的关系来表示 3数列的分类 有穷数列与无穷数列 有界数列与无界数列常数列、递增数列、递减数列、摆动数列 4a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；a n ＝S 1(n ＝1时)，a n ＝S n －S n －1(n ≥2时)。

前n 项和公式等差数列{a n }前n 项的和为2111()(1)()2222n n a a n n n d dS na d n a n +-==+=+-。

Ⅰ.设数列{}n a 是等差数列，其奇数项之和为奇S 、偶数项之和为偶S ，那么，当项数为偶数2n 时，1,+=n na a S S nd S S ＝－偶奇奇偶；当项数为奇数2n ＋1时，11,n S n S S a S n++-==奇奇偶偶Ⅱ.在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

Ⅲ.121(21),{}2n n n s a ds n a n n -=-是以为首项,为公差的等差数列.等比数列{a n }前n 项的和为S n ＝na 1，(q ＝1时)；S n ＝qqa a q q a n n --=--11)1(11，(q ≠1时)。

（1）正数等比数列各项的（同底）对数值，依次组成等差数列.即｛｝为等比数列且（i=1,2……,n,……）｛ ｝( 且 )为等差数列；若定义 ＝ ，则｛ ｝亦为等差数列.（2）取一个不等于1的正数为底数，则以等差数列各项为指数的方幂依次组成等比数列.即设a>0且a≠1，则｛ ｝为等差数列 ｛｝为等比数列.（3）｛｝既是等差数列，又是等比数列｛｝是非零常数列.学法探秘1对数列的理解 用函数的观点理解数列数列是定义在自然数集或其有限子集上的函数。

数列问题本质上就是函数问题，所以要学会用函数观点看数列问题。

a.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.b.对于等比数列：a n =a 1q n －1.可用指数函数的性质来理解.当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列； 当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列. 当q =1时，是一个常数列.当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. 注意数列与集合的区别与联系数列与集合都是具有某种属性的数的全体，只不过数列中的数有次序而且可以重复出现。

数列的通项公式数列的通项公式可以代表数列中的任何一项，但并不是每一个数列均有通项公式。

反之，当一个数列有通项公式时，其通项公式并不唯一。

2等差数列与等比数列的判定方法{}a n 为等差数列⇔a n ＋1－a n ＝d(d 为常数)⇔2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N)⇔a n ＝kn ＋b(k 、b 为常数)⇔S n ＝An 2＋Bn(A 、B 为常数){a}为等比数列⇔nn a a 1+＝q(q 为非零常数)⇔a n ＋12＝a n a n ＋2(n ∈N)⇔a n ＝pq n (p 、q 为非零常数)⇔S n ＝mq n －m(m 、q 为非零常数)3灵活运用定义、注意对称设元、尽量设而不求、并记住一些有用的结论，这样有助于提高解题速度。

如等差数列中有a n ＝a m ＋(n －m)d ，等比数列中有a n ＝a m q n －m ；又如已知三数成等差数列时，可设这三个数为a －d 、a 、a ＋d ，若已知四个数成等比数列时，可设这四个数为3qa 、qa、aq 、aq 3；（四个数同号）。

再比如在等差数列中，若a p ＝q ，a q ＝p ，则a p ＋q ＝0；若S m ＝n ，S n ＝m ，则S m ＋n ＝－(m ＋n)等等。

4重点掌握方程思想在求解“知三求二”的问题时，要恰当选用公式、积极减少运算量，在解题时要有目标意识：需要什么，就求什么，以便达到快速准确的求解目的。

在分析和解决有关数列的综合题时要注意运用数学思想方法，对等比数列的求和应注意对公比是否等于1进行分类讨论。

典型例析例1完成下列各题(1)已知四个数－9、a 1、a 2、－1成等差数列；五个数－9、b 1、b 2、b 3、－1成等比数列。

则b 2(a 2－a 1)等于 A.－8 B.8 C.－89 D.89(2)在等比数列{a n }中，已知对于任意的自然数n ，都有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2等于 A.4n －1 B.31(4n －1) C.31(2n －1)2 D.(2n －1)2分析：(1)要求b 2(a 2－a 1)的值，由于a 2－a 1与b 2没有必然的联系，因此应在两个数列中分别求a 2－a 1和b 2。

显然，a 2－a 1是等差数列的公差，b 2是等比数列的中项，从而本题为等差、等比数列的基本问题。

(2)我们知道，若数列{a n }是公比为q 的等比数列，那么数列{a n 2}是公比为q 2的等比数列。

因此，要求等比数列{a n 2}的前n 项和，关键是求首项和公比。

因为对于任意自然数n ，都有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，所以可取n ＝1、2，求出a 1和a 2，从而可求出公比q ＝12a a 。

也可以利用a n ＝S n －S n －1先求出a n ，便可观察出首项和公比。

解：(1)由－1＝－9＋3(a 2－a 1)得a 2－a 1＝38。

再由b 22＝b 1b 3＝(－9)(－1)得b 2＝±3。

因为等比数列的奇数项同号，所以b 2＝－3。

故b 2(a 2－a 1)＝－8，从而选A 。

(2)方法一：在a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1中分别取n ＝1、2，得a 1＝1,a 1＋a 2＝3，所以a 1＝1,a 2＝2， 于是等比数列{a n }的公比为q ＝2。

又{a n 2}是首项为a 12＝1，公比为q 2＝4的等比数列。

所以a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝41412--＝31(4n－1)，故选B 。

方法二：因为a ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n )－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1)＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1。

所以a 1＝1，q ＝2。

以下同方法一，略。

例2已知{a n }为等差数列，公差d ≠0，{a n }中的部分项所组成的数列1k a ，2k a ，3k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17。

(1)求k n ；(2)求证：k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝3n －n －1。

分析：(1)易知n k a 是等比数列中的第n 项，于是有n k a ＝a 1q n －1；另一方面，n k a 是等差数列中的第k n 项，又有n k a ＝a 1＋(k n －1)d 。

从而得a 1q n －1＝a 1＋(k n －1)d 。

在上式中除了k n 为所求外，a 1、d 和q 均为待定系数。

虽然a 1、d 和q 不必都求出来，但从式子的结构看，需求出a 1与d 的关系和q 的值。

从何入手呢？注意到k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，我们可以利用等比数列的子数列1k a ，2k a ，3k a ，即a 1，a 5，a 17也成等比数列，据此可以求出d 与a 1的关系和q 的值。

(2)要证明k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝3n －n －1，实质上是求数列{k n }的前n 项的和，而这可以由通项k n 来确定。

解：(1)由题设知1k a ，2k a ，3k a 即a 1，a 5，a 17成等比数列， 所以a 52＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)。

因d ≠0，所以a 1＝2d 于是公比q ＝15a a ＝3 所以n k a ＝1k a q n －1＝a 1⋅3n－1又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝a 1＋(k n －1) ⋅21a 所以a 1＋(k n －1) ⋅21a ＝ a 1⋅3n －1 因而k n ＝2⋅3n －1－1(2)k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝(2⋅30－1)＋(2⋅3－1)＋…＋(2⋅3n －1－1)＝2(1＋31＋32＋…＋3n －1)－n ＝3n －n －1 说明：在求得d ＝21a 和公比q ＝3后，还有如下更为简捷的解法： 因为3112)1(2)1(1111111=++=⋅-+⋅-+=---n n n n k k k k a k a ak a a a n n 所以{k n ＋1}是首项为k 1＋1＝2，公比为3的等比数列 所以k n ＋1＝ 2⋅3n －1，即k n ＝2⋅3n －1－1。

下略。

例3已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，数列{b n }满足b 1＝20，b 7＝5，且(b n ＋1－b n ＋2)log m a 1＋(b n ＋2－b n )log m a 3＋(b n －b n ＋1)log m a 5＝0。