1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2＝2，则{a n }前10项的和等于( )A.1－2103B ．－1－2103C ．210－1D ．1－2103．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3＋a 2)，则9a 1a 2a 3…a 9等于( )A ．－9B ．9C ．－81D ．814．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．125．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( )A ．15B ．－15C ．30D ．25二、填空题6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则此人第4天走的里程是________里．8．(2019·雅礼中学调研)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n＋2(n ∈N *)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________．三、解答题9．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．10．已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明：S n ＜163.B 级 能力提升11．(2019·广州调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n∈N *)的最小值为( )A ．4B ．3C ．23－2D.9212．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a ·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足2a n －1＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ；(2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．1．解析：设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n .答案：A2．解析：由题意得，a n ＋1＋2a n ＝0，则a n ＋1a n＝－2，即数列是公比为－2的等比数列，又a 2＝2，所以a 1＝－1，所以{a n }前10项的和等于S 10＝a 1（1－q 10）1－q＝－1－2103.答案：B3．解析：根据题意可知a 5＋a 4a 3＋a 2＝q 2＝3，则9a 1a 2a 3…a 9＝ 9a 95＝a 5＝a 1·q 4＝1×32＝9. 答案：B4．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1＋3×（3－1）2×d ＝2a 1＋2×（2－1）2×d ＋4a 1＋4×（4－1）2d ，解得d ＝－32a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案：B5．解析：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 由S 3＝3a 2＝9，得a 2＝3.又a 2－1，a 3－1，a 5－1成等比数列，所以(a 3－1)2＝(a 2－1)(a 5－1)，则(2＋d )2＝2(2＋3d )， 所以d ＝2，则a 3＝a 2＋d ＝5，故S 5＝5a 3＝25. 答案：D 二、填空题6．解析：因为a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， 所以a 1＝－4，d ＝1， 所以a 5＝a 1＋4d ＝0， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n ＜0，则n ＜5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正，所以S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10. 答案：0 －107．解析：由题意，每天走的路程构成公比为12的等比数列．设等比数列的首项为a 1，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，所以a 1＝192.因此a 4＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案：248．解析：由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 所以{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝3n ，a n ＝3n －1. 所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝100（1＋100）2＝5 050.答案：5 050 三、解答题9．解：(1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ， S n ＝n （n －9）d 2.由a 1＞0知d ＜0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0， 解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}． 10．(1)解：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1＝a 1－3，a 3＝（a 2＋1）－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝－4，a 1q 2－a 1q ＝－2，解得⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12.所以a n ＝a 1qn －1＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n .(2)证明：因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2a 2n ＝14，所以数列{b n }是以b 1＝a 2＝4为首项，14为公比的等比数列．所以S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝163·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＜163. B 级 能力提升11．解析：依题意a 23＝a 1a 13，即(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2.因此a n ＝2n －1，S n ＝n 2.则2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝（n ＋1）2－2（n ＋1）＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2（n ＋1）×9n ＋1－2＝4，当且仅当n ＝2时取得最小值4.答案：A12．解：(1)设数列{a n }的公差为d ， 由a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，a ·b ＝24，得a 1＋a 10＝24，又S 11＝143，解得a 1＝3，d ＝2， 因此数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)， 所以1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，所以M n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝n6n ＋9(n ∈N *)． (2)因为2a n －1＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)，且a 1＝3， 所以T n ＝4n λ＋2λ，当n ＝1时，b 1＝6λ；当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝3·4n －1λ，此时有b nb n －1＝4，若{b n }是等比数列，则有b 2b 1＝4，而b 1＝6λ，b 2＝12λ，彼此相矛盾，故不存在非零实数λ使数列{b n }为等比数列．。