(x) x f (x) ,
f (x)
由于
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2 .
假定 x *是 f (x)的一个单根，即 f (x*) 0, f (x*) 0 ， 则由上式知 (x*) 0，于是依据定理4可以断定，牛顿法 在根 x *的邻近是平方收敛的.
整理（4.6）式，得
（4.6）
7
q 2k xk C 2 C 1 q2k .
对任意 x0 0，总有 q 1，故由上式推知，当 k 时 xk C ，即迭代过程恒收敛.
例8 求 115 .
解 取初值 x0 10，对 C 115 按（4.5）式迭代3次 便得到精度为 106 的结果 （见表7-6).则转步骤4. 此处1, 2 是 允许误差，而
x1 x0


x1 x0

x1
当 x1 C时； 当 x1 C时，
其中 C是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取 C 1.
步骤4 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数N ，
或者 f1 0 ，则方法失败；否则以 (x1, f1, f1) 代替 (x0 , f0 , f0) 转步骤2继续迭代.
,
取迭代初值 x0 0.5，迭代结果列于表7-5中.
（4.3） （4.4）
3
所给方程（4.4）实际上是 方程 x ex 的等价形式. 若用 不动点迭代到同一精度要迭代 17次，可见牛顿法的收敛速度 是很快的.
牛顿法的计算步骤：
表7 5 计算结果
k
xk
0
0.5
1
0.57102
2
0.56716
xk 1 xk
f (xk ) f ( xk )
(k 0,1,),
（4.2）
这就是牛顿(Newton)法.
牛顿法的几何解释.
方程 f (x) 0 的根 x *可解释为曲线 y f (x) 与 x轴 的交点的横坐标（图7-3).
设 xk 是根 x *的某个近似值， 过曲线 y f (x) 上横坐标为 xk 的点 Pk 引切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 xk 1作为 x *
( xk

C

1 2 xk
( xk

C )2; C )2.
（4.5）
6
以上两式相除得
xk 1 xk 1
C C


xk xk

2
C C

.
据此反复递推有
xk 1 xk 1
C C


x0 x0

2k
C C

.
记
q x0 C , x0 C
x3 x 1 0.
（4.8）
在 x 1.5 附近的一个根 x *.
设取迭代初值 x0 1.5，用牛顿法公式
xk 1

xk

xk3 xk 1 3xk2 1
计算得
（4.9）
x1 1.34783, x2 1.32520, x3 1.32472.
迭代3次得到的结果 x3 有6位有效数字.
9
在（4.7）中取C 1 ，则称为简化牛顿法，这
f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
10
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.
例如，用牛顿法求方程
11
但如果改用 x0 0.6 作为迭代初值，则依牛顿法公式 （4.9）迭代一次得
x1 17.9.
这个结果反而比 x0 0.6 更偏离了所求的根 x* 0.32472.
为了防止迭代发散，对迭代过程再附加一项要求，即 具有单调性：
5
7.4.2 牛顿法应用举例 对于给定的正数 C，应用牛顿法解二次方程
x2 C 0,
可导出求开方值 C的计算程序
xk 1

1 2 ( xk

C xk
).
这种迭代公式对于任意初值 x0 0都是收敛的.
事实上，对（4.5）式施行配方手续，易知
xk 1 xk 1
C

1 2 xk
2
又因
(x*) f (x*) ,
f (x*)
故由（2.9）可得
lim xk 1 x * f ( x*) . k ( xk x*)2 2 f ( x*)
例7 用牛顿法解方程
xex 1 0.
解 这里牛顿公式为
xk 1
xk

xk e xk 1 xk
的新的近似值.
图7-3
1
注意到切线方程为
y f (xk ) f (xk )( x xk ).
这样求得的值 xk1 必满足(4.1），从而就是牛顿公式（4.2） 的计算结果. 由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法.
牛顿法（4.2）的收敛性，可直接由定理4得到，对（4.2） 其迭代函数为
为克服这两个缺点，通常可用下述方法.
（1） 简化牛顿法，也称平行弦法. 其迭代公式为
xk1 xk Cf (xk ) C 0,1 ,.
迭代函数(x) x Cf (x).
（4.7）
若在根 x *附近成立 (x) 1 Cf (x) 1，即取 0 Cf (x) 2，则迭代法（4.7）局部收敛.
由于公式（4.5）对任意 初值 x0 0 均收敛，并且收 敛的速度很快，因此可取确定 的初值如 x0 1 编成通用程序.
表7 6 计算结果
k
xk
0
10
1
10.750000
2
10.723837
3
10.723805
4
10.723805
8
7.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算 f (xk )及 f (xk ) ，计算量较大且有时 f (xk ) 计算较困难， 二是初始近似 x0 只在根 x *附近才能保证收敛，如 x0 给 的不合适可能不收敛.
3
0.56714
步骤1 准备 选定初始近似值x0 ，计算f0 f (x0 ),
f0 f (x0 ).
步骤2 迭代 按公式
x1 x0 f0 / f0
迭代一次，得新的近似值 x1，计算 f1 f (x1), f1 f (x1). 步骤3 控制 如果x1 满足 1 或f1 2 ，则终