精选范本2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω== 取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为：δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t精选范本2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩（参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。

精选范本2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有：2121()2T E m m x =+212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m精选范本即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k精选范本2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。

解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有：2222111()()222T E I m r I mr θθθ=+=+21()2U k r θ=由()0T d E U +=可知：22()0I mr kr θθ++= 即：22/()n kr I mr ω=+ （rad/s ）2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位置，如图所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周期。

精选范本精选范本2.6 求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且21312,k k k k ==。

解：取m 的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有：212T E mx =22211115226U kx k x k x =+= （其中：1212k k k k k =+）由()0T d E U +=可知：1503mx k x +=即：153n k m ω=rad/s ），1325m T k π=（s ）精选范本 2.7 如图所示，半径为r 的均质圆柱可在半径为R 的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O 为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。

解：设物体重量W ，摆角坐标θ如图所示，逆时针为正，当系统有θ摆角时，则：θθ=--≈-2()(1cos )()2U W R r W R r 设ϕ为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：()c R r r υθϕ=-=，即：()R r rϕθ-= 记圆柱体绕瞬时接触点A 的转动惯量为A I ，则：=+=+22212A C W W W I I r r r g g g ϕθθ-===-222221133()()()2224T A W R r W E I r R r g r g （或者理解为：ϕθ=+-22211()22T c W E I R r g，转动和平动的动能）精选范本由()0T d E U +=可知：θθ-+-=23()()02W R r W R r g即：ω=n rad/s ）精选范本 2.8 横截面面积为A ，质量为m 的圆柱形浮子静止在比重为γ的液体中。

设从平衡位置压低距离x (见图)，然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。

解：建立如图所示坐标系，系统平衡时0x =，由牛顿第二定律得： ()0mx Ax g γ+=，即：n Ag m γω=有初始条件为：{==000x x x 所以浮子的响应为：()sin()2Ag x t x m γπ=精选范本2.9 求如图所示系统微幅扭振的周期。

图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O 1，O 2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置(半径O 1A 与O 2B 在同一水平线上)，弹簧不受力。

摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m 1，m 2。

解：两轮的质量分别为12,m m ，因此轮的半径比为： 1122r m r m = 由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：121212r r θθθθ== 取系统静平衡时10θ=，则有：222222111222121111111()()()22224T E m r m r m m r θθθ=+=+2221112221211111()()()()222U k r k r k k r θθθ=+=+由()0T d E U +=可知：222121112111()()02m m r k k r θθ+++=精选范本即：n ω=rad/s ），=2T （s ）精选范本2.10 如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为I ，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P 的物体，绳与轮缘之间无滑动。

在图示位置，由水平弹簧维持平衡。

半径R 与a 均已知，求微振动的周期。

解：取轮的转角θ为坐标，顺时针为正，系统平衡时0θ=，则当轮子有θ转角时，系统有： θθθ=+=+2222111()()222T P P E I R I R g gθ=21()2U k a由()0T d E U +=可知：θθ++=222()0P I R ka g即：ω=+22n ka P I R g（rad/s ），故 πω+==2222n P I R gT ka （s ）精选范本2.11 弹簧悬挂一质量为m 的物体，自由振动的周期为T ，如果在m 上附加一个质量m 1，则弹簧的静伸长增加l ，求当地的重力加速度。

解：224T m k T ππ=∴=12114m g k lk l m l g m T m π=∴==精选范本2.12 用能量法求图所示三个摆的微振动的固有频率。

摆锤重P ，(b )与(c )中每个弹簧的弹性系数为k /2。

(1)杆重不计；(2)若杆质量均匀，计入杆重。

解：取系统的摆角θ为坐标，静平衡时0θ= （a ）若不计杆重，系统作微振动，则有： θ=221()2T P E L gθθ=-≈21(1cos )2U PgL PgL 由()0T d E U +=可知：θθ+=20P L PL g即：ω=n gLrad/s ）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：精选范本θθθ=+=+2222221111()()()22323L T L P P mE L m L L g gθθθ=-+-≈+2(1cos )(1cos )()222L L L P m U PgL m g gL g由()0T d E U +=可知：θθ+++=2()()032L L P m P m L gL g g即：ω=n rad/s ）（b ）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：θθθ=+=+2222221111()()()22323L T L P P mE L m L L g gθθ≈++⨯221()()()222222L P m k L U gL g即：ω=n （rad/s ）（c ）如果考虑杆重，系统作微振动，则有：精选范本θθθ=+=+2222221111()()()22323L T L P P mE L m L L g gθθ≈-++⨯221()()()222222L P m k L U gL g即：ω=n （rad/s ）精选范本2.13 求如图所示系统的等效刚度，并把它写成与x 的关系式。

答案：系统的运动微分方程2220a b mx kx a ++=2.14 一台电机重470N，转速为1430r／min，固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图所示。

每根槽钢长1.2m，重65.28N，弯曲刚度EI＝1.66 105N·m2。

(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率；(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率；(c)计算说明如何避开电机和系统的共振区。

2.15 一质量m固定于长L，弯曲刚度为EI，密度为的弹性梁的一端，如图所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。

wL3/(3EI)精选范本精选范本2.16 求等截面U 形管内液体振动的周期，阻力不计，假定液柱总长度为L 。

解：假设U 形管内液柱长l ，截面积为A ，密度为ρ，取系统静平衡时势能为0，左边液面下降x 时，有： ρ=212T E Alx ρ=⨯⨯⨯U A x g x由()0T d E U +=可知：ρρ+=20Alx g Ax即：ω=2n g l （rad/s ），=2l T gs ）精选范本2．17 水箱l 与2的水平截面面积分别为A 1、A 2，底部用截面为A 0的细管连接。

求液面上下振动的固有频率。

解：设液体密度为ρ，取系统静平衡时势能为0，当左边液面下降1x 时，右边液面上升2x ，液体在水箱l 与2和细管中的速度分别为123,,x x x ，则有：22211133222111[()][][()]222T E A h x x A L x A h x x ρρρ=-+++ 22211132132[()()]2A A Ah A L A h x A A ρ≈++ （由于：1;h x h -≈2;h x h +≈112233;Ax A x A x ==1122Ax A x =）1212x x U Ax g ρ+= 由()0T d E U +=可知：11111232[(1)()](1)0A A A h L x g x A A A ++++=即：ω=（rad/s）n精选范本精选范本2.18 如图所示，一个重W 、面积为A 的薄板悬挂在弹簧上，使之在粘性液体中振动。