答案：3（注意： m 1时， D2 E2 4F 0 ，故舍去） 变式：已知点 A 是圆 C : x2 y2 ax 4 y 5 0 上任意一点，A 点关于直线 x 2y 1 0 的对称点在圆 C 上，则实数 a _________.
2.圆 x 12 y 32 1关于直线 x y 0 对称的曲线方程是________________.
2.求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质 涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心 涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点 到直线的距离公式及垂径定理 3. D2 E2 4F 0 常可用来求有关参数的范围
#
圆系方程为 x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2 y F2 0 （ 1）
注：1）上述圆系不包括 C2 ； 2）当 1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（ 2 ） 过 直 线 Ax By C 0 与 圆 x2 y2 Dx Ey F 0 交 点 的 圆 系 方 程 为
必修二圆与方程专题讲义 一、标准方程 x a2 y b2 r2
1.求标准方程的方法——关键是求出圆心 a, b 和半径 r
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）
条件 圆心在原点
—
过原点
圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 圆心在 y 轴上且过原点 与 x 轴相切 与 y 轴相切
线被直线 l
反射后与圆 C
相切于点
B
24 25
,
7 25
若存在，求出 b
的值；若不存在，试说明理
由.
七、最值问题
方法主要有：（1）数形结合；（2）代换
例：已知实数 x ， y 满足方程 x2 y2 4x 1 0 ，求：
（1） y 的最大值和最小值；——看作斜率 x5
（2） y x 的最小值；——截距（线性规划）
？
变式：已知圆 C1 ： x 42 y 22 1与圆 C2 ： x 22 y 42 1关于直线 l 对称，
则直线 l 的方程为_______________.
3.圆 x 32 y 12 1关于点 2, 3 对称的曲线方程是__________________. 4.已知直线 l ： y x b 与圆 C ： x2 y2 1，问：是否存在实数 b 使自 A3, 3 发出的光
（
③求切线长：利用基本图形， AP 2 CP 2 r2 AP CP 2 r 2
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程
AC kAC
r k AP
1
3.直线与圆相交
（1）求弦长及弦长的应用问题(最短,最长)：垂．径．定．理．及勾股定理
（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题
（1） d r1 r2 外离
（2） d r1 r2 外切
（3） r1 r2 d r1 r2 相交 （4） d r1 r2 内切
（5） d r1 r2 内含
2.两圆公共弦所在直线方程
圆 C1 ： x2 y2 D1x E1 y F1 0 ，圆 C2 ： x2 y2 D2 x E2 y F2 0 ，
x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0
（3）有关圆系的简单应用
！
（4）两圆公切线的条数问题 ①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线； ③相交时，有两条公切线； ④相离时，有四条公切线 六、对称问题
1.若圆 x2 y2 m2 1 x 2my m 0 ，关于直线 x y 1 0 ，则实数 m 的值为____.
（3） x2 y2 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
八、轨迹方程 （1）定义法（圆的定义） （2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标 的关系式——轨迹方程.
例：过圆 x2 y2 1外一点 A2, 0 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.
i）点在圆外
如定点 P x0, y0 ，圆： x a2 y b2 r2 ，[ x0 a2 y0 b2 r2 ] 第一步：设切线 l 方程 y y0 k x x0
！
第二步：通过 d r k ，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对 k 存在有效，当 k 不存在时，应补上——千万不要漏了.
2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
;
问题：直线 l 与圆 C 相切意味圆心 C 到直线 l 的距离恰好等于半径 r
（2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注．意．点．
与两坐标轴都相切
方程形式
x2 y2 r2 r 0
x a2 y b2 a2 b2 a2 b2 0
x a2 y2 r2 r 0 x2 y b2 r2 r 0 x a2 y2 a2 a 0 x2 y b2 b2 b 0 x a2 y b2 b2 b 0 x a2 y b2 a2 a 0
分析： OP 2 AP 2 OA 2
（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动
动点 主动点 特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.
例：如图，已知定点 A2, 0 ，点 Q 是圆 x2 y2 1上的动点，AOQ 的平分线交 AQ 于 M ，
当 Q 点在圆上移动时，求动点 M 的轨迹方程.
如：过点 P 1, 1 作圆 x2 y2 4x 6 y 12 0 的切线，求切线方程.
答案： 3x 4y 1 0 和 x 1
ii）点在圆上
若点 x0，y0 在圆 x a2 y b2 r2 上，则切线方程为
x0 ax a y0 b y b r2
注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
x a2 y b2 a2 a b 0
二、一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0
(
1. Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0表示圆方程，则
CA
B 0
0
A B 0 C 0
D A2 ຫໍສະໝຸດ E A2 4
F A
0
D2 E2 4AF 0
三、点与圆的位置关系
1.判断方法：点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系 d r 点在圆内； d r 点在圆上； d r 点在圆外
2.涉及最值：
（1）圆外一点 B ，圆上一动点 P ，讨论 PB 的最值 PB BN BC r
min
PB BM BC r max
%
（2）圆内一点 A ，圆上一动点 P ，讨论 PA 的最值
分析：角平分线定理和定比分点公式.
则 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 为两相交圆公共弦方程.
`
注：若 C1 与 C2 相切，则表示其中一条公切线方程；
若 C1 与 C2 相离，则表示连心线的中垂线方程.
3．圆系问题
（1）过两圆 C1 ：x2 y2 D1x E1 y F1 0 和 C2 ：x2 y2 D2 x E2 y F2 0 交点的
例：若圆 x 32 y 52 r2 上有且仅有两个点到直线 4x 3y 2 0 的距离为 1，则
半径 r 的取值范围是_________________.
答案： 4, 6
4.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）
；
五、圆与圆的位置关系
1.判断方法：几何法（ d 为圆心距）
PA AN r AC min
PA AM r AC max
思考：过此 A 点作最短的弦（此弦垂直 AC ） 3.以 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 为直径两端点的圆方程为
(x x1)(x x2 ) ( y y1)( y y2 ) 0
四、直线与圆的位置关系
！
1.判断方法（ d 为圆心到直线的距离） （1）相离 没有公共点 0 d r （2）相切 只有一个公共点 0 d r （3）相交 有两个公共点 0 d r