高中数学必修2知识点总结第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖一、知识概述 1、圆的标准方程圆心为(a ，b)，半径为r 的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2．由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．2、圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心、为半径的圆．此时方程就叫做圆的一般方程．(2)当D2＋E2－4F=0时，方程表示一个点．(3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．即圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F>0）．圆的一般方程也含有三个待定的系数D，E，F，因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆．3、圆的参数方程（1）以（a，b）为圆心，r为半径的圆的参数方程为，特别地，以原点为圆心的圆的参数方程为.（2）θ的几何意义：圆上的点与圆心的连线与过圆心和x轴平行的直线所成的角.4、用待定系数法求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．二、重难点知识归纳：1、理解圆的定义，以及圆的标准方程与一般方程的推导．2、注意圆的一般方程成立的条件．3、利用待定系数法求圆的方程．三、典型例题剖析例1、(1)已知圆心在直线5x－3y=8上，又圆与坐标轴相切，求此圆的方程；(2)圆心在y=－2x上且与直线y=1－x相切于(2，－1)，求圆的方程．分析：(1)圆心在5x－3y=8上，又与两坐标轴相切，则圆心又在y=x或y=－x上，这样就能求出圆心及半径；(2)圆心在y=－2x上，与y=1－x相切于(2，－1)，知圆心在过(2，－1)且垂直于y=1－x的直线上；解：(1)设所求圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2=r2，圆心在5x－3y=8上，又与坐标轴相切，解得或∴圆心坐标为(4，4)或(1，－1)，半径为r=|x0|=4或r=|x0|=1．∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2=16，或(x－1)2＋(y＋1)2=1．(2)设圆心为(a，－2a)，由题意，圆与y=1－x相切于点(2，－1)，则．解得a=1，所求圆心为(1，－2)，半径r=．所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2=2．例2、已知曲线C：x2＋y2－2x－4y＋m=0 （1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x ＋2y－4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．分析：要考虑圆的一般方程成立的前提条件．解：（1）由D2＋E2－4F=4＋16－4m=20－4m>0，得m<5．（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由OM⊥ON得x1x2＋y1y2=0．联立方程组消去y得5x2－8x＋4m－16=0．由韦达定理得x1＋x2=①，x1x2=②．又由x＋2y－4=0得y=(4－x)，∴x1x2＋y1y2=x1x2＋(4－x1)·(4－x2)=x1x2－(x1＋x2)＋4=0．将①、②代入得m=.例3、已知动点M到定点A(3，0)与定点O(0，0)的距离之比为常数k(k>0)，求动点M的轨迹．分析：按直接法求出轨迹方程．为说明轨迹类型，对k进行分类讨论．解：设M(x，y)，由题意得，即|MA|2=k2|MO|2．代入坐标得(x－3)2＋y2=k2(x2＋y2)，化简得(k2－1)x2＋(k2－1)y2＋6x－9=0．①当k=1时，方程化为，轨迹是线段AO的垂直平分线．②当k>0且k1时，方程化为，轨迹是以为圆心，为半径的圆．例4、已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20=0，其中k－1．(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；(2)证明：曲线C过定点；(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．(1)证明：原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2=5(k＋1)2．①∵k－1，∴5(k＋1)2>0．故方程表示圆心在(－k，－2k－5)、半径为|k＋1|的圆．设圆心为(x，y)，有消去k，得2x－y－5=0．∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5=0上．(2)证明：将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)=0．②上式关于参数k是恒等式．解得∴曲线C过定点(1，－3)．(3)解：∵圆C与x轴相切，∴圆心到x轴的距离等于半径，即|－2k－5|=|k＋1|．两边平方，得(2k＋5)2=5(k＋1)2．．例5、直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2＋y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．解析：设直线l的方程为y－5=k(x－5)，且与圆C交于两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，消去y得，，解得k>0．，．由斜率公式，得．．两边平方，整理得2k2－5k＋2=0．解得k=或k=2符合题意．故直线l的方程为x－2y＋5=0或2x－y－5=0．判断直线l与圆C位置关系的两种方法：①判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆相交；有一组实数解时，直线l与圆相切；无实数解时，直线l与圆C相离．②判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径长r的关系．如果d<r，直线与圆相交；如果d=r，直线l与圆相切；如果d>r，直线l与圆C相离．✧圆与圆的位置关系设圆CR，圆C2的半径是r，圆心距为d，则1的半径为①当d>R＋r时，两圆相离；②当d=R＋r时，两圆外切；③当|R－r|<d<R＋r时，两圆相交；④当d=|R－r|时，两圆内切；⑤当d<|R－r|时，两圆内含．✧空间直角坐标系空间直角坐标系三要素：原点、坐标轴方向、单位长．常用对称点坐标：x，－y，－z）；点P（x，y，z）关于x轴对称：点P1（x，y，－z）；点P（x，y，z）关于y轴对称：点P2（－x，－y，z）；点P（x，y，z）关于z轴对称：点P3（－点P（x，y，z）关于平面xOy对称：点Px，y，－z）；4（x，y，z）；点P（x，y，z）关于平面yOz对称：点P5（－x，－y，z）；点P（x，y，z）关于平面xOz对称：点P6（点P（x，y，z）关于原点成中心对称：点Px，－y，－z）.7（－✧空间两点间的距离公式空间点、间的距离是．典型例题剖析例1、(1)求圆心在C(2，－1)，且截直线y=x－1所得弦长为的圆的方程；(2)求圆x2＋y2=4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标．分析：(1)应用圆的标准方程，只需借助几何图形，用勾股定理求出r；(2)借助图形转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系，可求出过圆心与4x＋3y－12=0垂直的直线方程．解：(1)设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=r2，由题设圆心到直线y=x－1的距离．又直线y=x－1被圆截得弦长为，．所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2=4．(2)过圆心(0,0)作直线4x＋3y－12=0的垂线，垂线方程为．①直线①与圆x2＋y2=4的靠近直线4x＋3y－12=0的交点就是所要求的点．解方程组解得．点是与直线4x＋3y－12=0距离最远的点，而点是与直线4x＋3y－12=0距离最短的点．故所求点的坐标为.例2、设P在x轴上，它到点的距离为到点的距离的两倍，求点P的坐标．解析：因为点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0,0)则，故点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．例3、求与两平行直线x＋3y－5=0和x＋3y－3=0相切，圆心在2x＋y＋3=0上的圆的方程．解析：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2=r2．由已知，两平行线之间的距离是．所以，所求圆的半径长是．由于圆心(a,b)到直线x＋3y－5=0和x＋3y－3=0的距离都是，于是，且．即|a＋3b－5|=1，且|a＋3b－3|=1．又圆心在2x＋y＋3=0上，于是有2a＋b＋3=0．解方程组，得或当时，不满足|a＋3b－3|=1，所以，所以，所求圆的方程为．例4、求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4=0相切且和直线y=0相切的圆的方程．、解析：依题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4，则圆心的坐标为或，又已知圆的圆心坐标为，半径r=3，若两圆相切，则或．(1)当圆心为时，有(a－2)2＋(4－1)2=72，解得，或(a－2)2＋(4－1)2=12，无解．故所求圆的方程为或．(2)当圆心为时，有(a－2)2＋(－4－1)2=72，解得，或(a－2)2＋(－4－1)2=12，无解．故所求的圆的方程为或．综合(1)(2)可知所求圆的方程为或或或例5、由一点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆C：x2＋y2－4x －4y＋7=0相切，求光线l所在直线的方程．解析：因为点A(－3,3)关于x轴的对称点为，设直线l1的斜率为k，则过点的直线l 的方程为y＋3=－k(x＋3)，将y=－k(x＋3)－3代入圆的方程，整理得(1＋k2)x2＋2(3k2＋5k－2)x＋(9k2＋30k＋8)=0，若直线l1与圆相切，则，即12k2＋25k＋12=0，解之得，或．所以，所求直线l的方程为y－3=(x＋3)，或y－3=(x＋3)，即3x＋4y－3=0，或4x＋3y＋3=0。