a2 N =
1 1 T 1 T − j (4 N π / T ) t 2 x t e dt = x(t )e− j (4 Nπ / T )t dt + ∫T x(t )e− j (4 Nπ / T )t dt ( ) ∫ ∫ T T T 0 T 2 =
T 1 T T ( ∫ 2 x(t )e − j (4 Nπ / T )t dt + ∫T − x(t − )e− j (4 Nπ / T )t dt ) T 0 2 2 T 1 T ( ∫ 2 x(t )e − j (4 Nπ / T ) t dt + ∫ 2 − x(t )e− j (4 Nπ / T )t dt ) = 0 0 T 0
+∞
e − j 2ω （答案） 2 + jω
+∞ +∞ −∞
X ( jϖ ) = ∫ x(t )e − jωt dt = ∫ e −2 ( t − 2) u (t − 2)e − jωt dt = ∫ e −2 ( t − 2) e − jωt dt
−∞ 2
= ∫ e −( 2+ jω )t + 4 dt =
jkπt
，由已知条件 k ≤ 4 时，H(jw)不为零，而 k ≥ 5 ，H(jw)=0
jkπt
故响应为： y k (t ) = H ( jkπ ) a k e 当 k > 5 时，激励 x k (t ) = a k e 此有 y (t ) =
= (1 −
k 5
)a k e jkπt ， k ≤ 4
(2) 由于系统的单位冲激响应 h(t)已知，可以据此而求出其频谱。因为 h(t)是方波脉冲，直 接由典型信号的频谱得：
FT h(t ) ←→ H ( jω ) =
T ωT Sa ( ) 2 4
由于激励 δ T (t ) =
1 ∞ jkω 0t ∑ e ，为复指数信号，由系统特征函数的概念，可得响应 y(t)的 T k = −∞
=
故只含奇次谐波分量 （2） x(t ) =
− 1 − t t
−1 < t ≤ 0 ， 0 < t ≤1
jkω 0t
设 x(t ) = 有
k = −∞
∑c e
k
∞
ck =
1 2 − jkω 0t dt ， T x (t )e ∫ − T 2
1 2
T
ck = −
∫
0
−1
(t + 1)e − jkπt dt +
E 2
则 x1 (t ) 为周期矩形脉冲，其周期为 T ，脉冲宽度为 T 2 ，脉冲幅度为 E （其 Fourier 级数 我们已经在教材 P81 页求周期方波时求过，只不过幅度不同。 ） 若 x1 (t ) =
k = −∞
∑a
∞
1k e
jkω0t
，则有 k ≠ 0 时， a1k =
Eω 0 T 4
jkπt
产生的响应为 0 （由于 k > 5 时， H ( jkπ ) = 0 ） ，因
jkπt
k = −4
∑y
4
k
(t ) =
k = −4
∑ (1 − 5 )a e
k
4
k
3.2. 求下列信号的傅里叶级数： (1) x(t ) = cos 2t + sin 4t ； (3) x(t ) 如图 3-31(b)所示; (5) x(t ) 如图 3-31(d)所示。 解（1）方法一：根据欧拉公式直接写出指数如下的形式： (2) x(t ) 如图 3-31(a)所示; (4) x(t ) 如图 3-31(c)所示;
3.4 （1）如果以 T 为周期的信号 x(t)同时满足 x(t ) = − x(t −
明奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波分量 （2）如果 x(t)是周期为 2 的奇谐信号，且 x(t)=t，0<t<1，画出 x(t)的波形，并求出它的 傅里叶级数系数。 解： （1）只需要证明奇谐信号的傅里叶级数中偶次谐波分量的系数为 0。
＜信号与系统＞第三章作业（P122-129）笔一部分 3.1-3.7
3.1 已知某 LTI 系统对 e
jwt
的特征值 H(jω)如图所示，求系统对下列输入信号的响应： (2) x(t ) = H(jω) 1
(1) 直流信号 x(t ) = E ；
k = −10
∑a e
k
10
ikw0t
, w0 = π
-5π 题 3.1 图 解： H ( jw) = 1 −
5π
ω
k 5π
w, w ≤ 5π
（1）因为： x(t ) = E ， ω 0 = 0 ，由图得 H(j0)＝1 故：响应为： y (t ) = H ( jω 0 ) E = H ( j 0) E = E （2）当输入为 x k (t ) = a k e
E T T ≤ t < 时， x(t ) = t T 2 2
-T -2/T 2/T 4/T -E/2 题 3.2 图(c)
T
t
设 x(t ) =
k = −∞
∑a e
k
∞
jkω0t
1 则有 k ≠ 0 时， a k = T
∫
T 2 T − 2
x(t )e
− jkω0t
1 dt = T
∫
T 2 T − 2
2π T
-2/T
x(t) E/2 t
E T 2 ,0 ≤ t ≤ 2 x(t ) = E − , − T ≤ t < 0 2 2
设 x(t ) =
2/T -E/2 题 3.2 图(a)
k = −∞
∑
∞
a k e jkω0t ，其中 a k =
1 T
1 T
∫
T 2 T − 2
x(t )e − jkω0t dt
x(t ) =
1 j 2t − j 2t 1 1 1 1 1 (e + e ) + ( e j 4 t − e − j 4 t ) = − e − j 4 t + e − j 2 t + e j 2 t + e j 4 t 2 2 2 j2 j2 j2
显然： w0 = 2
a−2 = −
1 ； j2
a−1 =
1 1 1 ； a0 = 0 ； a1 = ； a2 = j2 2 2
方法二：因为周期为 T = π ， ω 0 = 2 ，傅立叶级数为：
x(t ) =
1 j 2t 1 − j 2t 1 j 4t 1 − j 4t e + e + e − e ； 2 2 2j 2j
(2) x(t ) 如图 3-31(a)所示 解： x(t ) 的周期为 T ，有 ω 0 = 在一个周期内有：
k = −∞
∑ δ (t − nT ) ，是周期为 T 的周期信号
k jkω 0t
∞
设 δ T (t ) =
k = −∞
∑c e
∞
1 1 − jkω 0t dt = ，其中 c k = ∫ 2T δ (t )e T −2 T
T
即 δ T (t ) =
FT
1 ∞ jkω 0t 2π e （其中 ω 0 = ） ∑ T T k = −∞
π − jk t e 2
t =2
− jk
π 2
=
t =1
π π − jk − jk 1 2e 2 − 2 + e − jkπ − e 2 − j 2kπ
− 2 + (−1) k ; − j 2kπ 3 当 k = 0 时， a0 = 4 =
方法二：令 x(t ) = x1 (t ) + x 2 (t ) ，其中 x1 (t ) =
−∞ −∞ 3 −∞
+∞
+∞
− 2 t −3
e − jωt dt = ∫ e − 2( 3−t ) e − jωt dt + ∫ e −2( t −3) e − jωt dt
3 − e − jkπ ，其中 c0 = ； j 2kπ 4
kπ 2
3.3 (1)求冲激串 δT (t ) =
k = −∞
∑ δ(t − nT ) 的傅里叶变换；
∞
(2)已知某一 LTI 系统的单位冲激响应 h(t)，如图 3-32 所示，求该系统对冲激串 δT (t ) 响 应 y(t)的傅里叶级数 jk e 2
1 0
0 ≤ t <1 1 ， x 2 (t ) = 1≤ t < 4 0
0≤t <2 ， 2≤t<4
x1 (t ) 与 x 2 (t ) 都是周期为 4 的周期信号，设 x1 (t ) =
k = −∞
∑ c1k e jkω0t ， x2 (t ) =
∞
k = −∞
∑c
∞
2k
e jkω 0t ，
则有 x(t ) =
k = −∞
∑
∞
c k e jkω0t =
k = −∞
−j kπ 2
∑ (c
∞
1k
+ c 2 k )e jkω0t
− jkπ
当 k ≠ 0 时， c1k =
1− e 1− e ， c2k = ， j 2kπ j 2kπ
2−e
−j
即有
c k = c1k + c 2 k =
T 2 0
k ≠ 0 时， a k =
∫
0
−
T (− 2
E − jkω0t 1 dt + )e T 2
∫
E − jkω0t E[1 − ( −1) k ] e dt = 2 j 2kπ
k = 0 时， a0 = 0 ；