一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.(10分)(2015•佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;(2)小球的落点是A,求点A的坐标;(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.【答案】(1)(2,4);(2)(,);(3);(4)(,).【解析】试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标;(2)联立两解析式,可求出交点A的坐标;(3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入数值计算即可求解;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y=x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛物线的解析式联立,得到方程组,解方程组即可求出点M的坐标.试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4);(2)联立两解析式可得:,解得:,或.故可得点A的坐标为(,);(3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣××=4+﹣=;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y=x+b,∵P的坐标为(2,4),∴4=×2+b,解得b=3,∴直线PM的解析式为y=x+3.由,解得,,∴点M的坐标为(,).考点:二次函数的综合题2.如图,已知抛物线y =﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A (1,0)、C (﹣2,3)两点,与y 轴交于点N ,其顶点为D .(1)求抛物线及直线AC 的函数关系式;(2)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)在对称轴上是否存在一点M ,使△ANM 的周长最小.若存在,请求出M 点的坐标和△ANM 周长的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y =﹣x 2﹣2x +3;y =﹣x +1;(2)当x =﹣12时,△APC 的面积取最大值,最大值为278,此时点P 的坐标为(﹣12,154);(3)在对称轴上存在一点M (﹣1,2),使△ANM 的周长最小,△ANM 周长的最小值为102 【解析】 【分析】(1)根据点A ,C 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式;(2)过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ,交直线AC 于点F ,过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ,设点P 的坐标为(x ,﹣x 2﹣2x +3)(﹣2<x <1),则点E 的坐标为(x ,0),点F 的坐标为(x ,﹣x +1),进而可得出PF 的值,由点C 的坐标可得出点Q 的坐标,进而可得出AQ 的值,利用三角形的面积公式可得出S △APC =﹣32x 2﹣32x +3,再利用二次函数的性质,即可解决最值问题;(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标,利用配方法可找出抛物线的对称轴,由点C ,N 的坐标可得出点C ,N 关于抛物线的对称轴对称,令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ,则此时△ANM 周长取最小值,再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标,以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论. 【详解】(1)将A (1,0),C (﹣2,3)代入y =﹣x 2+bx +c ,得:10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩,解得:23b c =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线的函数关系式为y =﹣x 2﹣2x +3;设直线AC 的函数关系式为y =mx +n (m ≠0), 将A (1,0),C (﹣2,3)代入y =mx +n ,得:023m n m n +=⎧⎨-+=⎩,解得:11m n =-⎧⎨=⎩, ∴直线AC 的函数关系式为y =﹣x +1.(2)过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ,交直线AC 于点F ,过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ,如图1所示.设点P 的坐标为(x ,﹣x 2﹣2x +3)(﹣2<x <1),则点E 的坐标为(x ,0),点F 的坐标为(x ,﹣x +1),∴PE =﹣x 2﹣2x +3,EF =﹣x +1,EF =PE ﹣EF =﹣x 2﹣2x +3﹣(﹣x +1)=﹣x 2﹣x +2. ∵点C 的坐标为(﹣2,3), ∴点Q 的坐标为(﹣2,0), ∴AQ =1﹣(﹣2)=3, ∴S △APC =12AQ •PF =﹣32x 2﹣32x +3=﹣32(x +12)2+278. ∵﹣32<0, ∴当x =﹣12时,△APC 的面积取最大值,最大值为278,此时点P 的坐标为(﹣12,154). (3)当x =0时,y =﹣x 2﹣2x +3=3, ∴点N 的坐标为(0,3). ∵y =﹣x 2﹣2x +3=﹣(x +1)2+4, ∴抛物线的对称轴为直线x =﹣1. ∵点C 的坐标为(﹣2,3), ∴点C ,N 关于抛物线的对称轴对称.令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ,如图2所示. ∵点C ,N 关于抛物线的对称轴对称, ∴MN =CM ,∴AM +MN =AM +MC =AC , ∴此时△ANM 周长取最小值. 当x =﹣1时,y =﹣x +1=2, ∴此时点M 的坐标为(﹣1,2).∵点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(﹣2,3),点N 的坐标为(0,3),∴AC=,AN , ∴C△ANM =AM +MN +AN =AC +AN =.∴在对称轴上存在一点M (﹣1,2),使△ANM 的周长最小,△ANM 周长的最小值为32+10.【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式;(2)利用三角形的面积公式找出S △APC =﹣32x 2﹣32x +3的最值;(3)利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置.3.如图所示,已知平面直角坐标系xOy ,抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)记该抛物线的对称轴为直线l ,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P 关于直线l 的对称点为E ,点E 关于y 轴的对称点为F ,若四边形OAPF 的面积为20,求m 、n 的值.【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+,对称轴为:x=2,顶点坐标为:(2,4)(2)m 、n 的值分别为 5,-5 【解析】(1) 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y =-x 2+bx +c ,得:4b+c-16=0,b+c-1="3" , 解得:b="4" , c=0.所以抛物线的表达式为:24y x x =-+. y=-224(2)4y x x x =-+=--+,所以 抛物线的对称轴为:x=2,顶点坐标为:(2,4). (2) 由题可知,E 、F 点坐标分别为(4-m ,n ),(m-4,n ). 三角形POF 的面积为:1/2×4×|n|= 2|n|, 三角形AOP 的面积为:1/2×4×|n|= 2|n|,四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20, 所以 4|n|=20, n=-5.(因为点P(m,n)在第四象限,所以n<0) 又n=-2m +4m ,所以2m -4m-5=0,m=5.(因为点P(m,n)在第四象限,所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5,-5.4.如图1,在平面直角坐标系中,直线AB :y =kx +b (k <0,b >0),与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ,直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D .若直线CD 的解析式为y =﹣1k(x +b ),则称直线CD 为直线AB 的”姊线”,经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”.(1)若直线AB 的解析式为:y =﹣3x +6,求AB 的”姊线”CD 的解析式为: (直接填空);(2)若直线AB 的”母线”解析式为:2142y x x =-+,求AB 的”姊线”CD 的解析式; (3)如图2,在(2)的条件下,点P 为第二象限”母线”上的动点,连接OP ,交”姊线”CD 于点Q ,设点P 的横坐标为m ,PQ 与OQ 的比值为y ,求y 与m 的函数关系式,并求y 的最大值;(4)如图3,若AB 的解析式为:y =mx +3(m <0),AB 的“姊线”为CD ,点G 为AB 的中点,点H 为CD 的中点,连接OH ,若GH =5,请直接写出AB 的”母线”的函数解析式.【答案】(1)1(6)3y x =+;(2)(2,0)、(0,4)、(﹣4,0);(3)当m =﹣32,y 最大值为338;(4)y =x 2﹣2x ﹣3. 【解析】 【分析】(1)由k ,b 的值以及”姊线”的定义即可求解;(2)令x =0,得y 值,令y =0,得x 值,即可求得点A 、B 、C 的坐标,从而求得直线CD 的表达式;(3)设点P 的横坐标为m ,则点P (m ,n ),n =﹣12m 2﹣m+4, 从而求得直线OP 的表达式,将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标,由此求得P Q y y ,从而求得y =﹣12m 2﹣32m+3,故当m =﹣32,y 最大值为338;(4)由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y =﹣1m(x+3),令x =0,得 y 值,令y =0,得x 值,可得点C 、D 的坐标,由此可得点H 坐标,同理可得点G 坐标, 由勾股定理得:m 值,即可求得点A 、B 、C 的坐标,从而得到 “母线”函数的表达式. 【详解】(1)由题意得:k =﹣3,b =6,则答案为:y =13(x+6); (2)令x =0,则y =4,令y =0,则x =2或﹣4,点A 、B 、C 的坐标分别为(2,0)、(0,4)、(﹣4,0), 则直线CD 的表达式为:y =12(x+4)=12x+2; (3)设点P 的横坐标为m ,则点P (m ,n ),n =﹣12m 2﹣m+4, 则直线OP 的表达式为:y =n mx , 将直线OP 和CD 表达式联立得122ny x my x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, 解得:点Q (2438m m m --+,222838m m m m +-+-) 则P Q y y =﹣12m 2﹣32m+4, y =1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-=﹣12m 2﹣32m+3,当m=﹣32,y最大值为338;(4)直线CD的表达式为:y=﹣1m(x+3),令x=0,则y=﹣3m,令y=0,则x=﹣3,故点C、D的坐标为(﹣3,0)、(0,﹣3m),则点H(﹣32,﹣32m),同理可得:点G(﹣32m,32),则GH2=(32+32m)2+(32﹣32m)22,解得:m=﹣3(正值已舍去),则点A、B、C的坐标分别为(1,0)、(0,3)、(﹣3,0),则“母线”函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x+3)=a(x2﹣2x﹣3),即:﹣3a=﹣3,解得:a=1,故:“母线”函数的表达式为:y=x2﹣2x﹣3.【点睛】此题是二次函数综合题目,考查了“姊线”的定义,待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.5.温州茶山杨梅名扬中国,某公司经营茶山杨梅业务,以3万元/吨的价格买入杨梅,包装后直接销售,包装成本为1万元/吨,它的平均销售价格y(单位:万元/吨)与销售数量x(2≤x≤10,单位:吨)之间的函数关系如图所示.(1)若杨梅的销售量为6吨时,它的平均销售价格是每吨多少万元?(2)当销售数量为多少时,该经营这批杨梅所获得的毛利润(w)最大?最大毛利润为多少万元?(毛利润=销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用)(3)经过市场调查发现,杨梅深加工后不包装直接销售,平均销售价格为12万元/吨.深加工费用y(单位:万元)与加工数量x(单位:吨)之间的函数关系是y=12x+3(2≤x≤10).①当该公司买入杨梅多少吨时,采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样?②该公司买入杨梅吨数在范围时,采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些?【答案】(1)杨梅的销售量为6吨时,它的平均销售价格是每吨10万元;(2)当x =8时,此时W 最大值=40万元;(3)①该公司买入杨梅3吨;②3<x ≤8. 【解析】 【分析】(1)设其解析式为y =kx +b ,由图象经过点(2,12),(8,9)两点,得方程组,即可得到结论;(2)根据题意得,w =(y ﹣4)x =(﹣12x +13﹣4)x =﹣12x 2+9x ,根据二次函数的性质即可得到结论;(3)①根据题意列方程,即可得到结论;②根据题意即可得到结论. 【详解】(1)由图象可知,y 是关于x 的一次函数. ∴设其解析式为y =kx +b ,∵图象经过点(2,12),(8,9)两点,∴21289k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得k =﹣12,b =13, ∴一次函数的解析式为y =﹣12x +13, 当x =6时,y =10,答:若杨梅的销售量为6吨时,它的平均销售价格是每吨10万元; (2)根据题意得,w =(y ﹣4)x =(﹣12x +13﹣4)x =﹣12x 2+9x , 当x =﹣2ba=9时,x =9不在取值范围内, ∴当x =8时,此时W 最大值=﹣12x 2+9x =40万元; (3)①由题意得:﹣12x 2+9x =9x ﹣(12x +3) 解得x =﹣2(舍去),x =3,答该公司买入杨梅3吨;②当该公司买入杨梅吨数在 3<x≤8范围时,采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些.故答案为:3<x≤8.【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题,难度较大.解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系.6.如图,在直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+(2k﹣1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B,使△AOB的面积等于6,求点B的坐标;(3)对于(2)中的点B,在此抛物线上是否存在点P,使∠POB=90°?若存在,求出点P 的坐标,并求出△POB的面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=x2﹣3x。