用坐标分量表示为 A B e x ( A y B z A z B y ) e y ( A z B x A x B z ) e z ( A x B y A y B x )
写成行列式形式为
ex ey ez AB Ax Ay Az
Bx By Bz
A B B A
若 A B ，则
13
2、圆柱面坐标系
坐标变量
,,z
坐标单位矢量
e,e,ez
位置矢量
r e e zz
线元矢量
d l e d e d e z d z
面元矢量
dS
edldlz
e
ddz
dS
edldlzeddzFra bibliotekdSz
ezdldl
ez dd
体积元
dVdddz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
e A e x co e y c so e z c so
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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（2）标量乘矢量
k A e x kx A e y ky A e z kzA
（3）矢量的标积（点积）
B
A
A B A c B o A x B x s A y B y A z B z
A
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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矢量用坐标分量表示
A A x e x A y e y A z e z
z
Az
A
Ay
Ax
y
x
Ax A cos Ay A cos Az A cos
A A ( e x co e y c so e z c s) o
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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1.3 标量场的梯度
坐标变量 x,y,z
坐标单位矢量 ex,ey,ez
位置矢量
r e xx e yy e zz
线元矢量
d l e x d x e y d y e z d z
面元矢量
d S x e x d ly d lz e x d y d z d d S S z y e e z y d d l lx x d d l ly z e e z y d d x x d d z y
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
9
证明：A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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证明： A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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1.2 三种常用的正交坐标系
0
e
0 0 1
ez 0 0 1
ez
cos sin
0
直角坐标与 球坐标系
er e e
ex
ey
ez
sincos sinsin cos
cosin cossin sin
sin
cos
0
y e
15
ey e
ex
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间
坐标单位矢量的关系
z
ez
er
e
单位圆
e
o
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
z
z z0 （ez平面）
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dS ze zdxdy
dz
dSyeydxdz
dx
o
dy dS xe xdydz
y
体积元
dVdxdydz
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
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第1章 矢量分析
3、球面坐标系
坐标变量
r, ,
坐标单位矢量 er,e,e
位置矢量 线元矢量
rerr
d l e r d r e r d e r sd in
面元矢量
d S r e r d l d l e r r 2 sd id n
d S e d lr d l e z r sd ir d n
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量 A 与 B的夹角
A B B A ——矢量的标积符合交换律
AB
A B0 A//B
A B A B
e x e y e y e z e ze x 0 e x e x e y e y e ze z 1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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（4）矢量的矢积（叉积）
A B e nAsB in
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正 交坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标 变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、 圆柱坐标系和球面坐标系。
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第1章 矢量分析
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1、直角坐标系
ABAB
若 A//B，则
AB0
AB
B
AB sin
A
矢量A与B的叉积
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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（5）矢量的混合运算
( A B )C A C B C—— 分配律
( A B ) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )—— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C—— 矢量三重积
d S e d lr d l e r d r d
球面坐标系
体积元
dVr2sin drdd
球坐标系中的线元、面元和体积元
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第1章 矢量分析
4、坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 圆柱坐标系
eeez
ex
cos sin
0
圆柱坐标与 球坐标系
er e
e
e
sin cos
0
ey
sin cos
3
1. 标量和矢量
1.1 矢量代数
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字
母或带箭头的字母表示。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：A e AAe AA
矢量的大小或模：A A
矢量的单位矢量：eA
A A
常矢量：大小和方向均不变的矢量。