D2
D3
D5
o
x
(6)化二重积分 为 二 次积分,关键在于 确 定积分限.
两D 次积D分1 中,Dx2从左D3 右, yD从下D1 上D, 不2 能D颠3 倒次D4序. D5
计算二重积分的步骤：
(1) 画区域图; (2) 列出x型或y型区域的不等式组表示;
(3) 计算二次积分 (若一种次序积不出来时, 换另一种次序).
y 型 : y2 x y 2,1 y 2
(3) 列出二次积分并计算
xyd
xyd
xyd
01dx
x x
在区间[a,b]内任取
一点x，过此点作与yoz z
面平行的平面，它与曲
顶柱体相交得到一个一
个曲边梯形：
y
底为 1(x) y 2 (x)

z f (x, y)
y 2(x)
D
y 1(x)
高为 z f (x, y)
o
a
x
bx
注意D的特殊之处。
Z
A( x)
2 ( x)
1 ( x)
f
( x,
y)dy
三、 直角坐标系下计算二重积分习例
例1 计算 xyd , D由直线y 1, x 2及y x围成.
D
例2 计算 xyd , D由y2 x和y x 2围成.
D
例3 计算I x2e y2d , D由x 0, y 1, y x围成.
D
例4
计算
D
sin x
xdxdy,
D由直线y
x,
y
0, x
z f (x, y)
所以：
1 ( x)
y
2(x)
f(x,y)dxdy
b
A(x)dx
b
[
2(x) f(x.y)dy]dx
D
a
a 1(x)
•二重积分
•二次定积分
A(
x)
2 ( x)
1( x)
f
(
x,
y)dy
z
z f (x, y)
f ( x, y)d
D
b[ 2 ( x)
a 1( x)
平行截面面积已知
的立体的体积
oa
V
b
a
A(x)dx.
a
o
y
x
b
a
x
x x dx b
x
y A(x)
o x bx
（1）当积分区域如图所示
z f (x, y)
z
y
y 2(x)
D
oa
y
y 1(x)
bx
相应的曲顶柱体如右图。 o
y 2(x)
D
y 1(x)
a
x
bx
在区间[a,b]内任取一点x，过此点作与yoz 面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一 个曲边梯形：
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
特点：穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界的 交点不多于两个，其不等式组的表示如下
Dx
:
a1(
x) x
y b
2
(
x
)
则称此积分区域是x 型区域.
利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分
根据二重积分的几何意义：若ƒ(x,y)≥0，则二重积分是以 z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。 故可以考虑用定积分应用中求平行截面面积为已知的立 体的体积的方法。
xyd
C
2
1
dyy2
xydx
2
1
y
x2 2
2
dy
y
9. 8
例2 计算 xyd , D由y2 x和y x 2围成.
D
解 (1) 画区域图
y
(2) 列出区域的不等式表示
(4,2)
x 型 :D1 : x y x,0 x 1 o D1 D2
x
D2 : x 2 y x,1 x 4 (1,1)
算
一、积分区域的描述
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来 划分区域D，如图.
可见，除边缘外，其 y
Δσ
余均为矩形，其面积为
d
xy
Δy
则面积元素为 d dxdy c
故二重积分可写为
oa
Δx
bx
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
其中dxdy称为面积元素.
y 2(x)
D
y 1( x)
围成.
例5 改变积分01dy02 y f ( x, y)dx 13dy03 y f ( x, y)dx的
积分次序.
例 6 设 f ( x)在[0,1]上连续，且
1
f ( x)dx
A，
0
求
01dx
1
x
f
(
x)
f
(
y)dy.
例1 计算 xyd , D由直线y 1, x 2及y x围成.
D
axb
Dx型
1 ( x)
y
,
2(x)
有助于记住前面推出的二重积分计算公式：
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a 1 ( x)
a
1 ( x)
D
（3）类似地， 若积分区域为
特点：穿过
D的内部且
d
d
平行于x轴
x 1( y) c
D
x 1( y) x 2( y)
c
D
x 2( y)
的直线与D 的边界的交 点不多于两
个，则称此
积分区域是
用不等式组表示为：
Dy
1(
c y)
y x
d
2
(
y)
,
y型区域.
则可将二重积分化为先积x后积y的二次积分：
f (x, y)d
d
dy
2 ( y) f (x, y)dx
c
1 ( y)
D
(4)若D既可表为x 型区域,又可表为y 型区域时,则
y d
c oa
bx
y d c
oa b x
D
f (x,
y)d
bdx 2( x) f ( x,
a 1( x)
y)dy
d dy 2( y) f ( x,
c 1( y)
y)dx
(5)若D既不是x 型区域又不是y 型区域时,
则把D分块得到一些x 型区域和y 型区域.
y D2
y
D1
D4
D1 D3
o
x
解 (1)画区域图
y x2
(2)列出区域的不等式表示 x 型 : 1 y x,1 x 2 y 型 : y x 2,1 y 2
2 1 o1 2
y x
y1 x
(3)将二重积分表示成二次积分并计算
D
xyd
2
1
dx
x
1
xydy
2
1
x
y2 2
x
dx
1
2
1
x (x2 2
1)dx
9. 8
或者
f
(
x,
y)dy]dx
A( x)
o 1(x) 2(x)
y
注意：
(1)先对y后对x的二次积分，计算时先把x看作常数，
对y积分得到关于x的函数，再对x在[a,b]上积分，记为
D
f ( x, y)d
bdx 2 ( x) f ( x,
a 1( x)
y)dy
(2) f ( x, y) 0时公式仍成立.
利用X－型区域D的不等式组表示，
高等数学 A
第7章 多元函数积分学
7.1 重积分
7.1.2 二重积分的计算(1)
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.1 重积分
7.1.2 二重积分的计算
直 角
一、积分区域的描述
坐
标 系
二、化二重积分为二次积分
下
二 重
三、直角坐标系下计算二重积分习例1-6
积
分 的 计
四、利用区域的对称性和被积函数的奇偶 性以及轮换对称性简化二重积分习例7-11