局限性表现在：
(1)图形所确定的简单、实用的分析方法，是以工程的近似性为代价 的，但对多数工程应用还是适应的。
(2)只适用于线性定常系统，主要是单变量，对时变，线性规划不能 直接应用，对多变量应用也十分复杂。
§4.2 频率特性的图示方法之一 极坐标图
频率分析法的基础是画出线性系统频率特性的图形。
表现方式有多种： 实频特性与虚频特性
频率特性：G
j
2
n2 n2
j2n
n2 2 n2 j2n n2 2 2 4 2n22
令
n
1
1 2 j2
n2
n4 2
n22 2 4 2n22
j
2n3 n2 2 2 4 2n22
1 2
2
1 2 2 4 22 j 1 2 2 4 22
G j
n2
1
n2 2 2 4 2n22
1 2 2 4 22
G
j
arctan
2n n2 2
arctan
2 1 2
0 n
0 1
1
1
2
0
-90
0
-180
Im
[G(jw)]
w=∞ (1,jo)
0 w w=0 Re
wwnnξ1ξ2
wr
wn
ξ3 ξ1>ξ2>ξ3
|G(jw)| 1
1 2T 2
2.由传函中的 S 变换为 j S j 来求取。
上例： G j
K jT
1
1
K 2T
2
1
jT
Re
1
K 2T
2
,
Im
1
KT 2T
2
因此有： A G j Re2I2 mK 1 2T 2
LG
j
arctan
Im Re
arctan
T
结果一致
实际上，这种求取系统频率特性的方法，一般是先将传递函数按其零 点和极点化为基本环节的串联形式，然后依据各构成环节的幅值和相位 的关系，可方便求得频率特性。
例：
G
S
S
2
S 1 5S
6
试求其幅频特性和相频特性
解：
G
S
S
S 1
2S
3
零点： Z 1，极点： S1 2, S2 3
取S
j ，得系统的频率特性为： G
j
2
1 j
j3
j
q
A Ai G j
i 1
12 42 92
q
i
i 1
G
j
arctan
arctan
2
arctan
3
3.用实验方法求取：
k
1 T 22
S2 2
瞬态分量
xt
TF / k 1 2T 2
t
eT
1
F /k 2T
2
sin t
FT / k 1 2T 2
cos t
t . 0
TF
/
k
t
eT
1 2T 2
F / k sin t arctanT
1 2T 2
稳态分量
所以其稳态输出 频率响应：
x t 1/ k F sin t arctanT
极坐标图。(Nyqwist 曲线)
jw
w3 S
w2
w1
σ
0
Im [G(jw)]
w2 w3 0 w
∞
Re
w1
G(jw1)
图 4.3
图 4.4
规定：从正实轴开始逆时针旋转为正。
一、典型环节的 Nyqwist 图
1.比例环节： GS K
G j K G j K
G j 00
Im [G(jw)] 0 (k,j0)
§4.1 频率特性的基本概念
一.频率响应
系统对正弦信号(或谐波信号)的稳态响应。
响应 瞬态—不是正弦波
稳态—是和输入的正弦信号 w 相同的正弦波，但振幅和相位都 与输入量不同。
输入 ： xi t Xi sint Xie jt
输入的稳态响应： x0 t X0 sin t X 0 e jt
G j j G j 900
位于虚轴正半轴。由原点 无穷远。
Im [G(jw)] w=∞ w ∞
0 900 w=0 Re
具有恒定的相位超前。
图 4.7
4.一阶惯性环节： G S 1
TS 1
G
j 1
1 jT
1
1 2T 2
T j 1 2T 2
G j 1
1 2T 2
G j arctanT
对于那些难以用传函或微分方程等数模描述的系统，就无法用上面两 种来求取频率特性。但，基于线性系统对输入谐波信号的响应其输出仍 为同 的谐波信号这一特性和频率特性的一些概念，可通过试验的方法获 得系统的频率特性。
实验求取系统频率特性，就是改变输入谐波信号的频率，并测出与此 相应的输出信号的幅值和相位，然后求出对应频率下两种信号的复制比 和相位差，以此做出它们分别与频率的关系曲线，从而就获得系统频率 特性的表达式。
(2)对许多复杂的机械系统，往往需要获得动柔度或动刚度。
当用解析法无法求得系统的微分方程或传函时，就无法求得动态性 能，此时，可用实验方法建立频率特性。
在输入端加上 Fi 和 相同，但 w 不同的力的谐波信号 F Fi sin t 。
记录相应的位移(变形)的稳态输出，则相应于不同 w 可求出
x0 j / xi j 与(w) 。即得 G j Ae j 动刚度 (m / N) 。
TS 1
S
90 0
n2
S 2 2nS n2
线性系统频率特性所具有的物理含义，在系统分析和控制中具有非常 重要的作用。
三.频率特性的求取方法：
求取线性系统的频率特性，就是求其幅频特性和相频特性，主要有如 下三种： L1 1.依据频率特性的定义求:
取数模是传函 GS x0 S / xi S x0 S GS xi S x0 t t 时， x0 t 稳态时系统频率响应的幅值和相位。
0 1 T
G j 1
1
0
2
G j 0 45 90
Im
[G(jw)]
w=∞
(1,jo) Re
0
450 w=0
w=1/T
图 4.8
以
(
1 2
，j0
)
为圆心，以
1 2
为半径的一个正实轴下的半圆。可见
，
G j ，低通滤波的性能存在相位滞后， ， ，最大相位滞后90 。
5.一阶微分环节(导前环节)GS TS 1
再根据：
A
x0
xi
可得
0 i
例：
G
S
K TS
1
，输入
xi
t
F
sin
t
求得： t 时， x0 t
KF sin t arctanT
1 2T 2
由
A x0
xi
可得：
A0
K 1 2T 2
0 i
arctan T
系统的频率特性： G j
K
e j arctanT
机械振动 与频率特性有密切的关系 机械受到一定 w 的作用力时产生强迫振动，由于内反馈还会引起自激 振动。振动学中的共振频率，频谱密度，动刚度，扶振稳定性等概念都 可归纳为机械系统在频率域中表现的特性。 (2)可由试验确定 本章内容 (一)阐明频率响应与频率特性的基本概念及表示方法——基础
频率特性与传函的关系
k Re
图 4.5
2.积分环节： G S 1
S
G j
1
G j 1
j G j 900
j 1 0, G j 位于虚轴下半轴。由无穷远 原点。 , G j 0
具有恒定的相位滞后。
Im [G(jw)]
0w ∞ -900 Re
w0
图 4.6
3.微分环节： G S S G j
T Ck
时间常数
T 2F / k C1 1 2T 2
jC2 C3
C2S
C3
S j
1 F k jt 1
F 1 jt k 1 T 22
C3
F k
1
1 T 2
2
,
C2
F k
1
T T 2
2
L1
TF / k
X S 1 T 22 FT
S 1/ T k 1 T 22
S
F
S2 2
1
G j
动柔度
(3)系统的频率特性
单位脉冲响应的傅里叶变换
x0 S G S xi S x0 j G j xi j 当 xi t t , xi j 1 x0 j G j F t
所以它也是一种频谱分析，对某些频带中具有的噪声干扰采用频谱分 析法，可控制噪声对分析结果的影响。
r n 1 2 2
r 2
n2
2
2 2 n
谐振频率：r n 1 2 2
只有当1 2 2 0 才有意义
谐振峰值： Mr G j
2
1 1 2
0.707
G j arctan 1 2 2
当 0，r n，Mr ，在n 上引起振荡 G j 。 取值不同，G j的 Nyqwist 图的形状也不同。
1 2T 2
A F sin t x0 sin t
式中：x0 其输出谐波的幅值正比于输入谐波的幅值 F，且是输入谐
波频率 的非线性函数。
其输出谐波的相位与输入谐波的幅值 F 无关，与输入谐波频率的
相位差，是 的非线性函数。
xi x0
0