章末检测一、选择题1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( ) A．(－1,3) B．(－1，－3)C．(－2，－3) D．(－2,3)答案 B解析∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)．2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )A．(－∞，－1)及(0,1)B．(－1,0)及(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)及(1，＋∞)答案 A解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( )A．2 B．3C．4 D．5答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.4．函数y＝ln1|x＋1|的大致图象为( )答案 D解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x＞－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D.5．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点所在象限是( )A．第一B．第二C．第三D．第四答案 C解析∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值围是( ) A．(－∞，－3) B．[－3，3]C．(3，＋∞) D．(－3，3)答案 B解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤ 3. 7．设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )A．e2B．ln 2C.ln 22D．e答案 D解析f′(x)＝x·(ln x)′＋(x)′·ln x＝1＋ln x. ∴f′(x0)＝1＋ln x0＝2，∴ln x0＝1，∴x0＝e.8．设函数f(x)＝13x－ln x(x＞0)，则y＝f(x)( )A．在区间(1e，1)(1，e)均有零点B．在区间(1e，1)，(1，e)均无零点C．在区间(1e，1)无零点，在区间(1，e)有零点D．在区间(1e，1)有零点，在区间(1，e)无零点答案 C解析由题意得f′(x)＝x－33x，令f′(x)＞0得x＞3；令f′(x)＜0得0＜x＜3；f′(x)＝0得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，f(1e)＝13e＋1＞0.9．设函数f(x)＝sin θ3x3＋3cos θ2x2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f′(1)的取值围是( )A．[－2,2] B．[2，3] C．[3，2] D．[2，2]答案 D解析∵f′(x)＝x2sin θ＋x·3cos θ，∴f′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2(12sinθ＋32cosθ)＝2sin(θ＋π3)．∵0≤θ≤5π12，∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin(θ＋π3)≤1.∴2≤2sin(θ＋π3)≤2.10．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)根的个数有( ) A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析令f(x)＝2x3－6x2＋7，∴f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＞0得x ＞2或x ＜0；由f ′(x )＜0得0＜x ＜2；又f (0)＝7＞0，f (2)＝－1＜0，∴方程在(0,2)只有一实根．二、填空题11．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝______. 答案 －1解析 求导得y ′＝k ＋1x，依题意k ＋1＝0，所以k ＝－1.12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值围是________． 答案 a ≥3解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3.13．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (2,15)解析 y ′＝3x 2－10＝2⇒x ＝±2，又点P 在第二象限，∴x ＝－2，得点P 的坐标为(－2,15) 14．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，那么a ，b 的值分别为________． 答案 4，－11解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－3a 2＋a ＋b ＝9，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11. 三、解答题15．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0， 得x 1＝0，x 2＝a .f (0)＝b ，f (a )＝－a 32＋b ，f (－1)＝－1－32a ＋b ，f (1)＝1－32a ＋b因为23<a<1，所以1－32a<0，故最大值为f(0)＝b＝1，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，所以a＝63.故a＝63，b＝1.16．若函数f(x)＝4x3－ax＋3在[－12，12]上是单调函数，则实数a的取值围为多少？解f′(x)＝12x2－a，若f(x)在[－12，12]上为单调增函数，则f′(x)≥0在[－12，12]上恒成立，即12x2－a≥0在[－12，12]上恒成立，∴a≤12x2在[－12，12]上恒成立，∴a≤(12x2)min＝0.当a＝0时，f′(x)＝12x2≥0恒成立(只有x＝0时f′(x)＝0)．∴a＝0符合题意．若f(x)在[－12，12]上为单调减函数，则f′(x)≤0，在[－12，12]上恒成立，即12x2－a≤0在[－12，12]上恒成立，∴a≥12x2在[－12，12]上恒成立，∴a≥(12x2)max＝3.当a＝3时，f′(x)＝12x2－3＝3(4x2－1)≤0恒成立(且只有x＝±12时f′(x)＝0)．因此，a的取值围为a≤0或a≥3.17．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，故V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．17．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝1128 000x3－380x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油(1128 000×403－380×40＋8)×2.5＝17.5(升)．(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝(1128 000x3－380x＋8).100x＝11280x2＋800x－154(0＜x≤120)，h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0＜x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h (x )在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 18．已知函数f (x )＝13x 3－a ln x －13(a ∈R ，a ≠0)．(1)当a ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若对任意的x ∈[1，＋∞)，都有f (x )≥0成立，求a 的取值围． 解 (1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3ln x －13，f (1)＝0，∴f ′(x )＝x 2－3x，∴f ′(1)＝－2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程2x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝x 2－a x ＝x 3－ax(x ＞0)．①当a ＜0时，f ′(x )＝x 3－ax＞0恒成立，函数f (x )的递增区间为(0，＋∞)．②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 或x ＝－3a (舍).∴函数f (x )的递增区间为(3a ，＋∞)，递减区间为(0，3a )(3)对任意的x ∈[1，＋∞)，使f (x )≥0成立，只需对任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )min ≥0. ①当a ＜0时，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴只需f (1)≥0，而f (1)＝13－a ln 1－13＝0，∴a ＜0满足题意， ②当0＜a ≤1时，0＜3a ≤1，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴只需f (1)≥0而f (1)＝13－a ln 1－13＝0， ∴0＜a ≤1满足题意； ③当a ＞1时，3a ＞1，f (x )在[1，3a ]上是减函数，[3a ，＋∞)上是增函数，∴只需f (3a )≥0即可，而f(3a)＜f(1)＝0，∴a＞1不满足题意；综上，a∈(－∞，0)∪(0,1]．。