导数单元测试题班级 姓名一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝时，Δy 的值为( )A ．B ．C ．D ．2．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 3．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直4．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －25．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)6．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( )A ．4 C ．－14 D ．－197．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)8．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3) 11．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22 12． 一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末二、填空题13．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________. 14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________. 15．函数y ＝x e x的最小值为________．16．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.三、解答题17．求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝x1＋x； (3)y＝lg x －e x .18．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．19．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数单元测试题答案班级 姓名一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝时，Δy 的值为( ) A ． B ． C ．D ．解析：选B.Δy ＝f －f (2)＝－22＝.2．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x解析：选B.因为Δy ＝[2(1＋Δx )2－1]－(2×12－1)＝4Δx ＋2(Δx )2，所以ΔyΔx＝4＋2Δx ，故选B. 3．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选 B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．4．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2解析：选′(1)＝li m Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx＝li m Δx →0 11＋Δx ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.5．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116)D ．(12，14)故选D.6．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( )A ．4C ．－14D ．－19解析：选D.∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－19.7．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.8．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如题图所示，函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)解析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A．－10 B．－71C．－15 D．－22解析：选′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末解析：选D.∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4，此时的函数值最大，故选D.二、填空题13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.答案：114．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案：215．函数y ＝x e x 的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1. 当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0. ∴y min ＝f (－1)＝－1e .答案：－1e16．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2.解析：设矩形的长为x m ，则宽为16－2x 2＝(8－x ) m(0<x <8)，∴S (x )＝x (8－x )＝－x 2＋8x∴S ′(x )＝－2x ＋8，令S ′(x )＝0， 则x ＝4，又在(0,8)上只有一个极值点， 且x ∈(0,4)时，S (x )单调递增，x ∈(4,8)时，S (x )单调递减，故S (x )max ＝S (4)＝16. 答案：16 三、解答题17．求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝x1＋x；(3)y ＝lg x －e x .解：(1)y ′＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝1＋x －x 1＋x 2＝11＋x2.(3)y ′＝(lg x )′－(e x)′＝1x ln10－e x .18．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ，即x 2－x －6＝0，∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝limΔx→0x＋Δx2＋4－x2＋4Δx＝limΔx→0Δx2＋2x·ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2x)＝2x.∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.19．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)283－43从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.。