导数单元测试题班级姓名一、选择题1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.442．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2D．4x3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直4．曲线y＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－25．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A．(0,0) B．(2,4) C．(14，116) D．(12，14)6．已知函数f(x)＝1x，则f′(－3)＝( )A．4 B.19C．－14D．－197．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A．－10 B．－71 C．－15 D．－2212．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝14t4－53t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( )A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末二、填空题13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________.14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.15．函数y＝x e x的最小值为________．16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.三、解答题17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝x1＋x； (3)y＝lg x－e x.18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．19．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．导数单元测试题答案班级 姓名一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44解析：选B.Δy ＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.2．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x解析：选B.因为Δy ＝[2(1＋Δx )2－1]－(2×12－1)＝4Δx ＋2(Δx )2，所以Δy Δx＝4＋2Δx ，故选B.3．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．4．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝li m Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx ＝li mΔx →0 11＋Δx ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.5．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)故选D.6．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)＝( )A ．4 B.19C ．－14D ．－19解析：选D.∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－19.7．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x， 令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.8．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.对于f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．故选B.9．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如题图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．10．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A ．f (2)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3) 解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．11．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3，－1.又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末解析：选D.∵s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0，得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝4，此时的函数值最大，故选D.二、填空题13．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________. 答案：1 14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________.答案：215．函数y ＝x e x的最小值为________．解析：令y ′＝(x ＋1)e x＝0，得x ＝－1. 当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0.∴y min ＝f (－1)＝－1e.答案：－1e16．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设矩形的长为x m ，则宽为16－2x 2＝(8－x ) m(0<x <8)，∴S (x )＝x (8－x )＝－x 2＋8x∴S ′(x )＝－2x ＋8，令S ′(x )＝0， 则x ＝4，又在(0,8)上只有一个极值点， 且x ∈(0,4)时，S (x )单调递增， x ∈(4,8)时，S (x )单调递减， 故S (x )max ＝S (4)＝16. 答案：16 三、解答题17．求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝x1＋x；(3)y ＝lg x －e x.解：(1)y ′＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝1＋x －x 1＋x 2＝11＋x2.(3)y ′＝(lg x )′－(e x)′＝1x ln10－e x. 18．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ，即x 2－x －6＝0，∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－x 2＋4Δx＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·ΔxΔx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.19．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0， 得x 1＝－2，x 2＝2.当x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0＋ f (x )283－43从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为3；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.。