第四章 电路定理本章内容：1．叠加定理 替代定理 2．戴维南定理和诺顿定理3．特勒根定理 互易定理 对偶定理本章重点： 叠加定理, 戴维南定理 诺顿定理 本章难点：特勒根定理和互易定理的应用§4-1 叠加定理一、叠加定理在线性电阻电路中，当有两个或两个以上的独立电源作用时，则任一电流或电压，都是电路中各个电源单独作用（其它电源不起作用），在该处产生的电流或电压的叠加（代数和）。
即： Λ++=)2()1(u u u Λ++=)2()1(i i i(a) (b) (c)二、叠加定理求解电路的步骤 分析(如图a)对（a ）图，由KCL 、KVL 得由上式解得：可见i 2、u 1分别是i s 、u s 的线性组合，写成：式中：对应图（b ）(c)可见电路中的i 2（1）、u 1（1）和i 2（2）、u 1（2）分别是激励（电流源和电压源）单独作用产生的响应.电压源单独作用，电流源为0相当于开路，如图b 所示。
设产生的电流、电压为i 2（1）、u 1（1），则i 2（1）=21R R u S + u 1（1）=S u R R R 211+ 得到的式子与前面一致。
电流源单独作用，电压源为0相当于短路，如图c 所示。
设产生的电流、电压为i 2（2）、u 1（2）则 i 2（2）=S i R R R 211+ u 1（2）=S i R R RR 2121+ 得到的式子与前面一致。
以上分析对多个电源的电路也适用。
*总结步骤：❖ 将电路分解成电源单独作用❖求分解后电路的响应❖将各响应叠加*应用叠加定理时应注意的几个问题1．只适用于线性电路。
2．叠加时，注意电流电压的参考方向，求代数和。
分电路中电流、电压的参考方向与原电路相同取“+”号；分电路中电流、电压的参考方向与原电路相反取“-”号3．在叠加的各个分电路中，不作用的电源为0，电压源为0，看成短路；电流源为0，看成开路。
4．功率不能叠加。
（因功率与电流或电压的平方成正比，非线性）5．受控源保留在电路中。
*举例例4-1如图所示，求U和I 电阻电流及电流源两端的电压。
(a) (b) (c)解：电压源单独作用的电路如图b所示，产生的电流、电压为电流源单独作用的电路如图c所示U（2）=-4⨯124 )2 6363 (26363⨯+++⨯++⨯=-24VI（2）=124)26363(4)633(⨯+++⨯+=2A原电路的电流、电压为U=U1（1）+U1（2）=-4VI=I2（1）+I2（2）=17A例：4-2电路如图，求u3(a) (b) (C) 解：此电路含有受控源，在分析时保留在电路中10v电压源单独作用时，如图（b）4A电流源单独作用时，如图（c）所以，原电路的电压为：例4-3 在例4-2图a(下图a)中串入6v 的电压源，求u 3（a ） (b) (c) (d) 解：由4-3计算知：c 图中u 3(1)=19.6v 由c 图知：i 1(2)= i 2(2)=466+-=-0.6Au 3(2)=-10 i 1(2)+6 i 1(2)=9.6A原电路电压 u 3= u 3(1)+ u 3(2)=29.2A 三、 齐性定理及梯形电路1．齐性定理:在线性电路中，当所有的激励（电压源和电流源）都同时增大或缩小K 倍时，相应（电压和电流）也将同样增大或缩小K 倍。
当电路只有一个激励时，响应与激励成正比。
若上题（d ）中电压源从6V 上升到8V ，则响应s u '为6：8=29.2：s u '可求s u '2．应用：用齐性定理分析梯形电路采用倒退法，即在梯形的最远端设一个电流或电压，在推至激励。
例4-4 求梯形电路的支路电流。
解：设最末一条支路的电流5i'=1A则在假设条件下，各支路的电流电压分别为：已知给定电压为uS =120V 增加的倍数K=uS/su'=120/33.02=3.63,故各支路的电流、电压同时增加K倍，有§4-2 替代定理一、替代定理在线性电阻电路中，若第k条支路的电压uk 和电流ik为已知，那么此支路可以用一个电压等于uk 的电压源us或一个电流等于ik的电流源is替代，替代后电路中全部电压和电流均将保持原值。
（第k条支路可以是电阻、电压源支路、电流源支路，受控源支路不能替代）即下面a图可以用b图或c图替代。
解释：1． 对于电路中任何一条支路，如果已知它的端电压，则可以把这条支路拿掉，用一个电压源替代，这个电压源的电压的量值和极性应和原支路的端电压相同。
这样替代不会影响电路中其它部分的电流和电压。
2． 对于电路中任何一条支路，如果已知它的电流，则可以把这条支路拿掉，用一个电流源替代，这个电流源的电流的量值和方向应和原支路的电流相同。
这样替代不会影响电路中其它部分的电流和电压。
二、证明： （自学）如下图a 所示。
应用结点电压法可求出u 3=8V ，i 3=1A ， 44620)418161(3+=++u u 3=8V u 3=4 i 3+4 i 3=1Ai 2=8/8=1Au 3=-6i 1+20i 1=2A若把第三条支路拿掉用电压源u S =u 3=8V 或用电流源i s =i 3=1A 来替代；其电路如图b 、c 所示。
i 2=8/8=1A ，i 1=2A ，可见其它支路的电流电压不变。
§4-3 戴维宁定理和诺顿定理(等效发电机定理) 第二章第7节学习了不含源（独立电源）的一端口网络（二端网络），其等效电路为一个等效电阻。
那么一个含源的二端网络的等效电路如何呢？这就是戴维宁定理要学习的内容。
一、二端网络及其等效电路（复习）1．二端网络（一端口网络）：在电路分析中，可以把互连的一组元件作为一个整体来看待，当这个整体只有两个端钮用以与外部电路相连时，则不管它的内部结构如何，称它为二端网络。
用方块来表示。
2．特点：流入端口的电流等于流出端口的电流。
故也称一端口网络。
3．分类：有源网络、无源网络）。
1）线性无源网络的等效电路是一个线性电阻（等效电阻、输入电阻R0（电阻的串并联）2）线性有源网络的等效电路是一个等效电源支路。
可以用电压源串联电阻支路来表示，也可以用电流源并联电阻支路来表示。
（戴维南定理和诺顿定理）二、戴维南定理1．定理：一个含源（含有独立电源、线性电阻和受控源的）一端口，对外电路来说，可以用电压源和电阻串联组合来等效置换，此电压源的电压等于）；电阻等于把该一端口的全部独立电源置零后的输一端口的开路电压（uOC)。
入电阻(Req为含源一端口。
1-1‘的等效电路为b,其等效电阻和开路*图示如下a，设NS电压可由c、d求出。
(a) (b) (c) (d)2． 证明：设N S 含源一端口，端口的电流为i ，外电路的电阻为R O ，如图a ，由于R O 中的电流为已知，可用电流源i s =i 来替代R O 支路，如图b（a ） (b) (c) (d) (e)对图b 求端口电压u ，应用叠加定理得到图c 、d ，则有u=u (1)+u (2)=u oc + R eq i 这一方程对应的等效电路为图e 。
故定理成立。
左面的电路称为戴维宁等效电路。
应用戴维宁定理关键在于求出开路电压和等效电阻 3． 求输入电阻（有三种求法）1） 当网络中不含有受控源时，设网络内所有电源为零时，求等效电阻。
2） 当网络中含有受控源时，设网络内所有独立电源为零时，在端口外加一个电压u s ，计算端口的电流i ，则R eq =iu s3） 试验的方法，测出或计算出端口的开路电压u OC 和短路电流i SCR eq =SCOCi u三、诺顿定理1. 定理：一个含有独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用电流源和电导并联组合来等效置换，此电流源的电流等于一端口的短路电流（i sC ）；电导等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电阻(G eq ) 2. 证明：由一端口图（a ）应用戴维宁定理得到图(b)，再应用电压源和电流源的等效变换得到图(c)，其左部分称为诺顿等效电路（a ） (b) (c))2()1(i i i +==u G i eq sc - 其等效电路如图（c ）戴维宁等效电路和诺顿等效电路统称等效发电机电路，相应的定理称为等效发电机定理。
四、举例1．例4-5已知如图a 中每个电阻和电压源的数值，求电阻R 3的电流（a ） (b) (c)(d) (e) (f) 解：电路的左边如图b ，可求出等效电路cR=R 1//R 2 u s =-R 1i+u s1电路的右边如图d ，求出R cd ，可等效成c 。
由最后的等效电路f 可求电流i 3。
2．例4-7求下图a 的一端口的等效发电机解：由电路知，求短路电流方便。
R eq =2014012011++=8Ω故等效电路如图b 所示。
3． 例4-8如下图a 所示，含有受控源i c =0.75i 1，求戴维南等效电路和诺顿等效电路。
（a ） (b) (c) (d) 解：对（a ）图，求出i 1、i 2就可以求出开路电压，由KCL 得i 2=i 1+i c =1.75i 1 由KVL 得5310⨯⨯i 1+202310i ⨯=40解上面两个方程得：i 1=10mA u oc =20⨯103⨯i 2=35V对图（b),求短路电流端口短路，i 2=0 i 1=40/5=8A i sc = i 1+i c =1.75 i 1=14 mA等效电阻为R eq = u oc / i sc =2.5k Ω 故得到等效电路（b ）(d)*说明：通常两个等效电路同时存在，但对含受控源电路，等效电阻可能为0，∞或负电阻,若为R eq =0，等效成一个电压源，诺顿等效电路不存在；若R eq =∞，等效成一个电流源，戴维宁等效电路不存在；这种情况下，两个等效电路不同时存在。
当仅对电路中某个元件分析时应用该定理非常方便。
（适用于单一元件的分析） 五、最大功率传输、匹配的概念电阻R 吸收的功率为：p=i 2R=22)(R R Ru eq oc + 用数学的手段求功率的极值dRdp =0 dR dp =422)(])()(2[R R R R R R R u eq eq eq oc ++-+=O 当R=R eq 时R 获得最大功率，这时，负载电阻与一端口的输入电阻匹配最大功率 p max =eqocR u 42例4-9，求电路外接可调电阻等于多少时，从电路获得的功率最大。
(a) (b)解：由戴维宁定理化简a 电路，得到戴维宁等效电路如图b开路电压u oc =-32052052052010⨯+⨯+⨯+=4V等效电阻R eq =16+520520+⨯=20k Ω可求得R=R eq =20k Ω时R 获得最大功率，p max =eqocR u 42=0.2W结论：对于下图示的含源一端口网络，外加负载电阻的大小可以变动，当满足负载电阻等于一端口网络的输入电阻（R=R eq ）时，负载获得最大功率（p max =eqocR u 42），称负载电阻与一端口的输入电阻匹配（负载与电源内阻匹配）。