第二十节 约数的个数与和
【知识要点】
自然数d c b a P P P P N 4321⨯⨯⨯=，4321P P P P
均为质数，a 、b 、c 、d 为自然数，则 约数的个数等于
()()()()1111+⨯+⨯+⨯+d c b a ，所有约数的和等于()()b a P P P P 221111+++⨯+++ ()()d c P P P P 443311+++⨯+++⨯
【典型例题】
例1 用枚举法求120所有的因数。

例2 180共有几个约数？所有约数的和是多少？
* 例3 1～500中有奇数个约数的数有哪些？只有3个约数的数有哪些？
* 例4 共有8个不同约数，且小于120的自然数有哪些？
* 例5 有12个不同约数的最小自然数是多少？
【小试锋芒】
1．用枚举法求90的所有因数。

2．720的约数有多少个？约数的和是多少？
* 3．200～600之间有奇数个约数的自然数有几个，都是哪些？* 4．小于200的有14个约数的自然数有哪些？
* 5．某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？
** 6．少年宫游乐厅内悬挂着100个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗十分有趣。

这100个灯泡按1～100编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；
……
一样的，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。

这样继续下去，每2分钟一个周期。

问：第100秒时，亮着的灯泡有多少个？
** 7．3个孩子分20个苹果，每人至少一个，分得的苹果个数是整数，则分配的方法一共有多少种？
【大显身手】
1．用枚举法求124所有的因数。

2．126的约数个数有多少个?全部约数的和是多少？* 3．小于200的有奇数个约数的自然数有哪些？
* 4．小于300的9个约数的自然数有哪些？
*** 5．某自然数小于200，并且是2和9的倍数，包括1和它本身在内共有12个约数，这样的自然数有哪些？
**** 6．两千五百年前，数学家们发现了这样一种现象：6的约数有1、2、3、6，而6恰好等于它自身的约数（不含它本身）的和：6=1+2+3。

后来，数学家们找到具备这样性质的第二个数是28，28=1+2+4+7+14，第三个数是496，第四个数是8128。

人们把这样的数叫做完全数。

观察这四个数，大胆猜测（这是研究数学的极为重要的方式）一下，8128后面的那些完全数因该是什么样子的，简单说明理由。