湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学 专业年级：2011级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一． 填空题（每小题5分，共30分）1. 用355113作为圆周率 3.14159265π=L 的近似值时，有 位有效数字。

2. 2()(5),x x x ϕα=+- 要使迭代法1()k k x x ϕ+=局部收敛到*x = 则α的取值范围是 . 3. 若12,21A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则谱条件数1222()Cond A A A -=⋅= . 4. 设01,,,n x x x L 为1n +个互异的插值节点，()()(0,1,,)()j i j iijx x l x i n x x ≠-==-∏L 为拉格朗日插值基函数，则 1(0)nn i i i l x +==∑ . 5. 已知实验数据则拟合这组数据的直线为y = . 6. 要使求积公式11101()(0)()4f x dx f A f x ≈+⎰具有2次代数精度，则 1x = ， 1A =二． ( 11分) 给定方程32()360.f x x x =+-=(1) 证明该方程在区间(1,2)内存在唯一实根*;x(2) 用牛顿迭代法求出*x 的近似值，取初值0 1.5,x = 要求5110.k k x x -+-< 三．( 10分) 用高斯列主元素消去法解线性方程组123123201128.2419x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦四．(10分) 给定线性方程组12321111111,1121x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。

五．(13分) 试根据数表构造Hermite (埃尔米特)插值多项式().H x 六．(10分) 求常数,αβ使积分()1220x e x x dx αβ--⎰取最小值。

七．(16分) 用龙贝格方法求积分311I dx x=⎰的近似值，要求误差不超过310.-工程数学试题参考答案一． (1) 7 ; (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,51; (3) 3 ; (4) n nx x x Λ10)1(- ;(5) x 4.19.0+ ; (6) .43,3211==A x二． 解. (1) 因为,)])2,1[(063)(,014)2(,02)1(,]2,1[)(2∈∀>+='>=<-=∈x x x x f f f C x f 所以由零点定理和单调性知原方程在)2,1(内存在唯一实根.*x (4分)(2) 牛顿迭代格式为 .,2,1,0,6363263632232231Λ=+++=+-+-=+k x x x x x x x x x x kk k k k k k k k k (7分) 取初值,5.10=x 计算结果如下：5*43410, 1.195823.x x x x --<≈= (11分)三．解. 12320241911281128241912320--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ (2分) 24195703225490422⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(4分) 24195490422570322⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(5分) 24195490422351750088⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(7分)等价的上三角形方程组为123233249,5494,2235175.88x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪-+=-⎨⎪⎪=-⎪⎩回代得 3215,3, 1.x x x =-==(10分)四. 解. 雅可比迭代格式为()()(1)()()123(1)()()213(1)()()3121121(3)112k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=+-⎪⎪=--⎨⎪⎪=--⎩分雅可比迭代矩阵11022101,11022J B ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦(5分) 其特征方程 11||0,22J E B λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭J B 的特征值 12,310,.2λλ==±(8分) 因为谱半径()11,2J B ρ=< 所以雅可比迭代法收敛。

(10分) 五．列表计算差商)22244()10(1)3(1)(1)(1)(2).39H x x x x x x x x =++++-+++- (13分) 六．解. 取201(),(),();x x x x x f x e ϕϕ=== 定义内积 ()1,()(),(),()[0,1],f g f x g x dx f x g x C =∀∈⎰则 ()120001,,3x dx ϕϕ==⎰()130101,,4x dx ϕϕ==⎰()100,1,x f xe dx ϕ==⎰()141101,,5x dx ϕϕ==⎰()1210, 2.x f x e dx e ϕ==-⎰ (5分)正规方程组为1113411245e αβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ (8分) 解得.537454.222080,903090.416860-≈-=≈+-=e e βα (10分)七. 解. 计算结果见下表(14分)因为3332(0)(0)0.62871010,T T ---=⨯< 所以 1.0986306.I ≈ (16分)湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学(A 卷) 专业年级：2014级专业型硕士研究生 考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

三． 填空题（每小题4分，共20分）1. 设,)(x x f = 则导数值353101.0)2(≈'f 有 位有效数字。

2. 若,3201,11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x 则=1||||Ax ，条件数()Cond A ∞= .3. 设13)(2-=x x f ，则差商=]2,1[f ，[0,1,2,3]f = .4. 拟合三点)2,2(,)3,1(,)1,0(C B A 的直线是=y .5. 参数=α 时，求积公式)]()0([)]()0([2)(20h f f h h f f hdx x f h'-'++≈⎰α的代数精度达到最高，此时代数精度为 .四． (12分) 给定方程.2x e x -=(3) 证明该方程在区间)1,0(内存在唯一实根*;x (4) 写出牛顿迭代法求*x 的迭代格式；(5) 若取初值,10=x 牛顿迭代法是否收敛？若收敛，指出收敛阶数。

三．( 12分) 用三角分解法解线性方程组 .343112253321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---x x x四．( 16分) 分别给出用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3213215010010b b b x x x αββα 时，对任意初始向量都收敛的充要条件.五．(16分) 用插值法求一个二次多项式),(2x P 使得曲线)(2x P y =在0=x 处与曲线 x y cos =相切，在2π=x 处与x y cos =相交，并证明.324|cos )(|max 3220ππ≤-≤≤x x P x六．(12分) 求x xe x f =)(在]1,0[上的一次最佳平方逼近多项式。

七．(12分) 已知函数表请分别用8=n 的复化梯形公式和4=n 的复化辛浦生公式计算积分⎰10)(dx x f 的近似值.（取7位浮点数）工程数学试题(A 卷)参考答案一． (1) 3 ; (2) 5,6; (3) 0,9; (4) 2321+x ; (5)3,121. 二． 解. (1) 因为2)(-+=x e x f x 在)1,0(上连续，并且(),]1,0[01)(,01)1(,01)0(∈∀>+='>-=<-=x e x f e f f x所以由零点定理和单调性知原方程在)1,0(内存在唯一实根.*x (4分) (2) 牛顿迭代格式为.,2,1,0,121Λ=+-+-=+k e x e x x kk x k x k k (8分) ⑶ 因为,])1,0[(0)(∈∀>=''x e x f x ,0)1()1(>''f f 所以牛顿迭代法收敛， 且收敛阶为2. (12分)三. 解. 用杜里特尔分解法求解。

按紧凑格式计算得562852137133321----- 于是得.56133,2800710321,152013001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=y U L ( 9分) 回代求解上三角形线性方程组,Ux y = 得原方程组的解为 .1,1,2123===x x x即 .)2,1,1(),,(321=x x x ( 12分)四．解. 雅可比迭代矩阵,050100100100)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+=-αββαU L D B J 其特征方程为,01003||2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβλλλJ B E ( 4分)J B 的谱半径,10||3)(αβρ=J B 所以J 法收敛的充要条件是3100||<αβ. (8分)赛德尔迭代矩阵,50500010100001000000000500100010)(211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=--αββαβαβαβααβU L D B G 其特征方程为,01003||2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβλλλG B E (12分) G B 的谱半径,100||3)(αβρ=G B 所以G-S 法收敛的充要条件是3100||<αβ.(16分)五．解. 由条件得.0cos 2,0)cos ()0(,1cos )0(220202==⎪⎭⎫⎝⎛='='=====ππx x x x P x P x P (3分).2,0,0]0,0[)0()(22x f x f f x P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=π ( 6分)作差商表.41)(222x x P π-= ( 9分).2,0,2612!3|sin ||cos )(|222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-πππξx x x x x x x P ( 12分) 记,2)(2⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x g π 令,0)3()(=-='x x x g π 得.3,021π==x x 所以,54323)(max 3220πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤≤x g x 故.324|cos )(|max 3220ππ≤-≤≤x x P x ( 16分)六．解. (1) 取,)(,1)(10x x x ==ϕϕ 并设一次最佳平方逼近多项式为,bx a y += 则 ,1),(,21),(,11),(100110100======⎰⎰⎰dx xe f xdx dx x ϕϕϕϕϕ,2),(,31),(,21),(10211021101-=====⎰⎰e dx e x f dx x x ϕϕϕϕϕ (6分)正规方程组为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡213121211e b a ( 8分) 解得⎩⎨⎧-=+-=.3012,166e b e a 故所求的最佳平方逼近多项式为.616)3012(e x e y -+-= ( 12分) 七．解.9767267.09896158.09973978.0(21[161)(18++⨯+=≈⎰T dx x f ]8414709.0)8771925.09088516.09361556.09588510.0+++++ .9456908.0=. ( 6分))8771925.09361556.09767267.09973978.0(41[241)(14+++⨯+=≈⎰S dx x f ]8414709.0)9088516.09588510.09896158.0(2+++⨯+ =.9460833.0 ( 12分)湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷）参考答案 专业年级： 11级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。