2010年数学建模竞赛答案输油管道的铺设设计 符号约定m 炼油厂A 到铁路线L 的距离 n 炼油厂B 到铁路线L 的距离 b 炼油厂A 、B 间水平距离 F 输送管道的总费用 f 铺设管道的附加费用 W 铺设费用的权重系数1k A 厂铺设非共用管线每千米的费用 2k B 厂铺设非共用管线每千米的费用 3k 共用管线每千米的费用问题一分析与模型建立 最短路径的存在性论证如图4.1，假设C 点为在铁路线上设计增建的车站，由费尔马问题的结论，在ABC ∆中，存在费尔马点P ，使点P 与ABC ∆三个顶点距离之和小于三角形二边之和，即有PA+PB+PC<AC+BC图4.1且0120ACB ∠<时，费尔马点P 在ABC ∆内部 而当0120>∠ACB 时，费尔马点P 与C 点重合。

为此有如下结论：①当0120<∠ACB 时，铺设公用管道PC 的输送费用比不铺设公用管道费用低；②当0120>∠ACB 时，不需要铺设公用管道，即公用管道PC =0。

问题一分析与模型建立如图4.1，以炼油厂A 、B 间铁路线所在直线为x 轴，以过炼油厂A 且垂直于铁路线L 直线为y 轴，建立平面直角坐标系。

设 A(0,m), B(b,n),P(r,t)，并设非公用管道的费用为每千米1个单位，公用管道的费用为每千米k 个单位（下同），根据实际意义易知21<≤k 。

根据参考文献[1]，点P 不可能在A 的上方，故m t ≤≤0。

易得，A 点关于过点P 平行于x 轴的直线1L 的对称点'A （0，2t-m ）。

由费尔马点的应用及平面几何对称性有111F PB PA k PC BA k PC '=⨯+⨯+⨯>⨯+⨯ 为此，得到铺设管道的最优模型min 1F BA k PC '=⨯+⨯ 4-1 问题一模型求解对模型分两种管道费用相同与不同两种情形研究，并根据点A 、B 的坐标不同的取值，进行A 、B 不同位置时管道铺设设计。

1公用管道与非公用管道费用不同，即k <1时模型的求解已知A 点关于1l 对称点'A （0，2t-m ）()F t tk =求一阶导数，令'()0F t =求解：2224m n t k +=-或2224m n t m k+=+>-（舍去）又20224m n m k+≤≤-可得：22()4()4n m k n m k b --+-≤≤（1）如图4.2，在2()40n m k b k --≤≤时，易判断'()0F t <，即()F t 为单调递减。

图4.2此时，易得点P 坐标为（0，m ）, 即点P 与点A 重合时，最优管道铺设方案为折线BA-AC 。

亦即车站建在（0，0），费用()F t 最小，且22min ()()F m mk b m n =+-。

特别的，当b=0时，两个炼油厂同位于垂于铁路线的直线上，车站建在点（0，0）点，最优管道铺设方案如图4.3，且输送管道铺设费的最优解为n k m m k m n F +-=⨯+-⨯=)1()(1min 。

图4.3（2）如图4.4,当22()4(4n m k n m k b k k--+-≤≤ 时，易判断()F t 在20,224m n k ⎡⎤+⎢-⎣上单调递减, 在2224m n m k ⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦上单调递增。

由2224m n t k+=-可知'A 的坐标为2'(0,4A n k-图4.4∴直线AB ’的方程为2244k kb y x n kk=+---；直线y=t 的方程2224m n kby k+=--联立方程组得：22244224y x n k k m n y k ⎧=+-⎪--⎪⎨+⎪=-⎪-⎩22()42224m n k kbx k m n y k ⎧--+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪-⎩P 的坐标点为（22()4,2224m n k kb m n k k --++--），最优管道铺设方案如图4.5所示。

图4.5且min ()F t =2222()(244kb m n b m n k k k+++---。

特别的，如图4.6所示，当m=n 时，两个炼油厂位于平行于铁路线的直线上，且炼油厂A 、B 所成的0120ACB ∠≤时，P 点为（2,224b m k--），车站建在点(,0)2b。

图4.6最优管道铺设方案如图4.6所示，费用最小值为min 22112424b F km k k=+--。

（3）如图4.7，在2()4m n k b +->时，易判断'()0F t >，即()F t 单调递增。

此时'A 的坐标为'(0,)A m -，直线'A B 的方程为m ny x m b+=- 令y=0 得mbx m n=+ 图4.7所以，点P 的坐标为（mb m n +，0）时，亦即车站建在（mbm n+，0），且 22min (0)()F b n m =++。

特别的，如图4.8所示，当m=n 时，两个炼油厂位于平行于铁路线的直线上，且炼油厂A 、B 所成的0120ACB ∠>时，车站建在点（2b，0）点。

图4.82 公用管道与非公用管道费用相同，即1=k 时模型求解根据4.1.3.1的结论，将1=k 代入有：（1）如图4.2，在03()b n m ≤≤-时，点P 坐标为（0，m ）, 即点P 与点A 重合时，最优管道铺设方案为图4.2折线BA-AC 。

亦即车站建在（0，0），且22min ()()F m m b m n =++-。

特别的，当b=0时，两个炼油厂同位于垂于铁路线的直线上，车站建在点（0，0）点，最优管道铺设方案如图4.3，且输送管道铺设费的最优解为min F n =。

（2）如图4.4,3()3()n m b n m -≤≤+ 时，P 的坐标点为2m n +（(,02m n kbk -）时，费用()F t 最小，且min F km =+min (0)F =特别的，如图4.6所示，当m=n 时，两个炼油厂位于平行于铁路线的直线上，且炼油厂A 、B 所成的0120ACB ∠>时，车站建在点（2b，0）点。

最优管道铺设方案如上图4.6所示，且min (0)F =（3）当)b a c >+时，如图4.7所示，由于不铺设公用管道，车站建设位置及最优铺设方案与图4.7相同。

问题二求解针对实际问题，根据参考文献[2],可根据层次分析法（AHP ）可得图4.11依据图4.11建立目标层（资质评价），准则层和方案层关系，表4.1，城市管道铺设权重系数运算11223344T w T w T w T w λ=+++ 4-5根据参考文献[2]，依中华人民共和国法令以及号令，对甲级资质和乙级资质公司各相关回来分析对比分析，有相关的数据表：表4.3公司资质数据表根据工程装价咨询的性质，对于工程总价目标的重要性，用表4.3数值表示表4.4 根据表4.3建立一致正互反矩阵（逆称矩阵）13571/315/37/31/53/517/51/73/75/71A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭运用MATLAB 软件，求解矩阵A 的权重w(具体编程运算见附件一)：W=(0.5966,0.1989,0.1193,0.0852) 表4.5如表4.4，运用模型4-5对甲级城市管道铺设权重系数 λ=甲0.6447同理，乙级城市管道铺设权重系数 λ=乙0.3553 易判断λ=0.6447运用4-4模型，铺设管道的附加费为 f=21.5243图4.15如图4.15，设x轴上有一点C使得ACB∠最大。

∆中ACB构造圆的方法，来求解ACB∠；因此，在图4.15的基础上，以AB为直径构造圆，如图4.16图4.16图4.16中,A(0,5),B(20，8)，可得圆方程：22(10)( 6.5)102.25x y -+-= 4-6 圆交于x 轴于点D ，E ，运用模型4-6解得C(2.2540,0),D(17.7460,0)X 轴上线段CD 以外的点与点A,B 组成的均小于90，如AEB 因此，若线段CD 间存在最大角且小于120 ，则证明AFB 存在费尔马点；做CD 的中垂线，连接AF,BF ，可知CD 间的最大角AFB ,证明如下：2()()BA B A ABx x y y =同理，可得125AF 164BF运用 222cos2AFBFABAF BF =-0.395486113.296120故直线CD 外存在费尔马点。

图4.12方案一，如图4.12，已知b=8 , a=5 , c=15 , l=20 ; 则可得A （0，5） ； B （20，8） 根据问题一模型4-3的方案设计已知338133b ≤=≤，3()3()22p m n b a c bx -+-+==3322p m n b a c b y ++== 由此可得点P 坐标为（7.4019，0.7265） 运用斜率式求解得直线BP l 的方程 0.5773 3.5470y x =- 又点F 在直线BP l ，确定点F （15，5.1125） 由两点间的距离公式得附加费的路径 FB =5.7739 min 3a c bS ++=方案一的相应铺设管道费用：min F =FB *f+min S *7.2=295.78方案二，为了使铺设管道费用减少，在减少附加费用的基础上，来减少附加费用的路径，因此我们在区域I 和区域II 之间的分界线上引入一个拐点'F ,如图4.13图4.13由图4.13，可知铺设管道费用的目标函数：min 7.2('')*'F PE PF BF AP f BF =++++ 由lingo 软件（步骤见附件二）运算得 min F = 282.8197 对比方案一与方案二的铺设费用min F =295.78>min F = 282.8197 因此，方案设计如图4.14图4.14 则此时，最省的铺设费用为min F 282.8197问题3根据已知条件312,,,,k k k c e ，则可建立问题的线性规划数学模型：222222min 1223()()()()()()F k t m r k rc ts k f b e c s k rs.t. 1223120000t c k k k k k k s c re利用LINGO 软件求解（见附件3）得：minF 252.0913图4.15如图4.15，设x轴上有一点C使得ACB∠最大。

∆中ACB构造圆的方法，来求解ACB∠；因此，在图4.15的基础上，以AB为直径构造圆，如图4.16图4.16图4.16中,A(0,5),B(20，8)，可得圆方程：22x y-+-= 4-6(10)( 6.5)102.25圆交于x轴于点D，E，运用模型4-6解得D(2.2540,0),E(17.7460,0)。