正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。

在近年高考中主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1(2005年全国高考江苏卷)ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果． 解：由正弦定理得：32sin sin sin sin sinsin sin()33b c b c b cB C B C B B ππ++====++-， 得b ＋c＝B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6B π+．故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，故选(D)．评注：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝6π，周长应为33＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE，设BE ＝x在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BDcos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC，即321=AC 又630sin =B，故2sin A =1470sin =A二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例3(2005年北京春季高考题)在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解法1：由C BA sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C cA a=，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac +-．∴2222a c b ac+-＝2ca，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 例4(2005年全国高考上海卷) 在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决． 解：由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-••，解得AC ＝3．∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315．∴21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)．四、求值问题例5(2005年全国高考天津卷) 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、， 设c b a 、、满足条件222a bc c b=-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△A B C 中，∠C =1－A －∠B =1－∠B. 由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题 例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。

分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB 、∠CBA ，这个三角形可确定。

解析：由正弦定理得sin sin AC ABCBA ACB=∠∠，∴AC=AB=120m ，又∵11sin 22ABCS AB AC CAB AB CD =⋅∠=⋅，解得CD=60m 。

点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。

（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。

若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？图1ABCD解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B 点，测得S 在东30°北的方向上。

在△ABC 中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S 作SC ⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°=7.5。

这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。

点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。

（三.）追击问题例3 如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航 行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？ 解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。

在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9， 设∠ABC=α，∠BAC=β。

∴α=180°－45°－15°=120°。

根据余弦定理2222cos AC AB BC AB BC α=+-⋅，()()2212881202920()2t t t =+-⨯⨯⨯-，212860270t t --=，（4t －3）（32t+9）=0，解得t=34，t=932（舍）∴AC=28×34=21 n mile ，BC=20×34=15 n mile 。

根据正弦定理，得15sin 2sin 21BC ACαβ⨯===α=120°，∴β为锐角，＜14＜2，∴＜4π， ∴甲船沿南偏东4π－arcsin14的方向用34h 可以追上乙船。

点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC 、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t 有关。

这样根据余弦定理，可列出关于t 的一元二次方程，解出t 的值。

五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇． 例6 (2005年全国高考卷三试题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B （Ⅰ）求cot A +cotC 的值； （Ⅱ）设32BA BC⋅=，求a ＋c 的值. 分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等． 解：（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B得 西北 南东A BC30° 15° 图2图3C°由b 2=ac 及正弦定理得 .sin sin sin 2C A B =则11cos cos sin cos cos sin cotcot tan tan sin sin sin sin A C C A C AA C A C A C A C ++=+=+=22sin()sin 1sin sin sin A C B B B B +====（Ⅱ）由32BA BC ⋅=，得ca •cos B ＝32，由ㄋB ＝34，可得ac ＝2，即b 2＝2．由余弦定理b 2=a 2+c 2－2a c+cosB ， 得a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5. 3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a易错题解析例题1 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围。

错解：∵ab c b c a 2222220<++->，∴。

则cos A b c a bc=+->22220，由于cosA 在（0°，180°）上为减函数且cos90090°，∴°=<A又∵A 为△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°。

辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。

题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。

正解：由上面的解法，可得A ＜90°。

又∵a 为最大边，∴A ＞60°。

因此得A 的取值范围是（60°，90°）。

例题2在△ABC 中，若a bA B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。

错解：由正弦定理，得sin sin tan tan 22A B A B= 即sin sin sin cos cos sin sin sin 2200A B A ABB A B =>>·，∵， ∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22。