2014年全国普通高等学校招生理科数学卷（新课标卷Ⅱ）一、选择题：1.设集合}2,1,0{=M ，}023|{2≤+-=x x x N ，则M N ⋂=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. 5- B. 5C. i +-4D. i --43.设向量，满足10||=+，6||=-，则⋅ ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，1=AB ，2=BC ，则=AC ( )A. 5C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的=S （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线)1ln(+-=x ax y 在点(0,0)处的切线方程为x y 2=， 则=a （ ）A. 0B. 1C. 2D. 39.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x ，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为030的直线交C于A ， B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）C. 6332D. 9411.直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 2512.设函数()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞B. ()(),44,-∞-⋃∞C. ()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞二、填空题：13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则=a ________.(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是16.设点)1,(0x M ，若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得045=∠OMN ，则0x 的取值范围是________.三、解答题：17.已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. 如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角C AE D --为060，1=PA ，3=AD ，求三棱锥ACD E -的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. 设1F ，2F 分别是椭圆C : )0(12222>>=+b a by a x 的左,右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ，b .21. 已知函数()f x =2x x e e x ---（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计2ln 的近似值（精确到0.001）23. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：23+=x y 垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国卷(Ⅱ)统一考试一、选择题：（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C二、填空题：（13）12（14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1] 三、解答题：17、解：（1）由131m m a a +=+得1113().22m m a a ++=+ 又113a 22+=，所以，{12m a + } 是首项为32，公比为3的等比数列。

12m a +=32m，因此{n a }的通项公式为m a =312m - （2）由（1）知1m a =231m -因为当n ≥1时，31m-≥123,m -⨯所以，1113123m m -≤-⨯ 于是，11211111133m m a a a -+++≤+++=313(1)232m -< 所以，1211132m a a a +++<18、解：（1）连结BD 交AC 于点O ，连结EO ， 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点， 又E 为的PD 的中点，所以EO ∥PB ，⊂EO 平面AEC ，⊄PB 平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ；（2）因为⊥PA 平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系，则xyz A -，则)0,3,0(D ，则)21,23,0(E ，AE =(0, 32,12)，设)0,0,(m B ，则)0,3,(m C 设),,(z y x =为平面ACE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0212303z y y mx ， 可取)3,1,3(-=m， 又)0,0,1(=为平面DAE 的法向量， 由题设21,cos >=<m n ，即214332=+m ，解得23=m ，因为E 为PD 的中点，所以三棱锥ACD E -的高为12，三棱锥ACD E -的体积为 V=13⨯12⨯⨯32⨯1219、解：由所得数据计算得: 4)7654321(71=++++++=t , 3.4)9.52.58.44.46.33.39.2(71=++++++=y , 289410149)(712=++++++=-∑=i it t,14))((71∑==--i i i y y t t ，5.02814)())((71271==---=∑∑=i ii it ty y t tb ,3.245.03.4=⨯-=-=t b y a , 所求回归方程为3.25.0ˆ+=t y(Ⅱ)由（Ⅰ）知，05.0>=b ，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号9=t 代入（1）中的回归方程，得8.63.295.0ˆ=+⨯=y， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元 20、解：（Ⅰ）根据22b ac -=以及题设知),(2ab c M ，ac b 322=，将222c a b -=入ac b 322=，解得21=a c ，2-=a c （舍去）故C 的离心率为21；（Ⅱ）由题意，原点O 为21F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点D 是线段1MF 的中点，故42=ab ，即a b 42= ① 由15MN F N =得：||||11N F DF =，设),(y x N ，由题意可知0<y ，则⎩⎨⎧=-=--22)(2y cx c ， 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=123y c x ，代入方程C ，得1149222=+b a c ②将①以及22b ac -=代入②得到1414)4(922=+-a aa a ， 解得7=a ， 2842==a b ，故 7=a ， 72=b .21、解：（Ⅰ）02)(≥-+='-xxee xf ，等号仅当0=x 时成立，所以)(x f 在),(+∞-∞单调递增；（Ⅱ）x b e e b e ex bf x f x g x x x x)48()(4)(4)2()(22-+---=-=--，)22)(2(2)]24()(2[2)(22+-+-+=-+---='----b e e e e b e e b e e x g x x x x x x x x ，（1） 当2≤b 时，0)(≥'x g ，等号仅当0=x 时成立，所以)(x g 在),(+∞-∞单调递增，而0)0(=g ，所以对任意0>x ，0)(>x g ； （2） 当2>b 时，若x 满足，222-<+<-b ee xx，即)21ln(02b b b x -+-<<时，0)(<'x g ，而0)0(=g ，因此当)21ln(02b b b x -+-≤<时，0)(<x g ，综上，b 的最大值为2（3） 由（2）知， 2ln )12(22223)2(ln -+-=b b g ， 当2=b 时，02ln 62423)2(ln >+-=g ，6928.0123282ln >->， 当1423+=b 时，2ln )21ln(2=-+-b b b ，02ln )223(2223)2(ln <++-=g ， 693.0282182ln <+<.23、解：（1）C 的普通方程为: )10(1)1(22≤≤=+-y y x ,可得C 的参数方程为：⎝⎛=+=ty tx sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）；（Ⅱ）设)sin ,cos 1(t t D +，由（Ⅰ）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆。