x与Tx都是T 的不动点 x=Tx （不动点的唯一性）
n0
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3.压缩映射原理应用 应用压缩映射原理及其推论解决实际问题的步骤： 1) 说明X是完备距离空间； 2) 有实际问题定义映射T:XX，使x=Tx； 3) 证明所定义映射T是X上的压缩映射； 3) 有压缩映射原理说明不动点的存在唯一性。 例4.1 设f(x)在R可导, 且f’(x)<1, 则f(x)在R上有唯一的不动点 x,且x可由迭代xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0R)迭代求得. 证 R是完备距离空间，函数f(x)是R到R的一个映射， x1,x2R, 由拉格朗日中值定理, 有 (f(x1), f(x2))=f(x1)-f(x2)=f’()x1-x2(x1,x2) f: RR是压缩映射 f(x)在R上有唯一的不动点x，对于迭代xn+1=Txn，有
( y1 , y 2 )
x [ x 0 , x 0 ]
max
y1 ( x ) y 2 ( x )
x dy f ( x, y ), y x0 y0 y ( x ) y0 f (t , y (t )dt x0 dx x y y ( x ) C[ x0 , x0 ], 令T ( y ( x )) y0 f (t , y (t )dt
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n (1 k ) n ( x n k , x n ) (Tx 0 , x 0 ) (Tx 0 , x 0 ) 1 1
(xn+k,xn)0 (n) (0<<1) {xn}是基本列{xn}收敛 (X完备) xX, 使xnx (n) ② 证明极限点x就是T的不动点。 T是压缩映射T是连续映射 xn+1=Txn , xnx, T连续x=Tx (n) x是T的不动点 唯一性 设x,y都是T的不动点x=Tx,y=Ty (x,y)=(Tx,Ty)(x,y)(x,y)=0 (0<<1)
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第6节 压缩映射原理及其应用
• 压缩映射及其不动点的概念 • 压缩映射原理 • 压缩映射原理应用举例—求映射的不动点
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基本思想： 代数方程 微分方程 积分方程
注：1）把“方程的求解”问题化归为“求映射的不动点”问 题 ，并用逐次逼近（即迭代）法求不动点（既近似解）的方 法是计算数学，分析和代数中常用的一种重要方法。例如，牛 顿求代数方程根时采用的切线法。 2）映射的不动点：使x=Tx的x称为T:XX的不动点.
定义4.1 (映射的不动点) 设X距离空间，T：XX是X上的自映射， 如果存在xX，使得x=Tx，则称x是映射T的一个不动点。
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2. 压缩映射原理(Banach不动点原理，波兰，1922) 定理4.1 (压缩映射原理) 设X 是完备的距离空间，映射T： XX是压缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x, 即x=Tx。 证 存在性 设X完备，T: XX是压缩映射， ① 任取初始点x0X，构造迭代序列{xn}X： xn+1=Txn (n=0,1,2,…) ② 证明{xn}是基本列, 因而是收敛列。T是压缩映射 , 0<1, 使得 (xn+1,xn)=(Txn,Txn-1)(xn,xn-1)2(xn-1,xn-2) …n(x1,x0)=n(Tx0,x0) (n=1,2,…) (xn+k,xn)(xn+k,xn+k-1)+(xn+k-1,xn+k-2)+…+(xn+1,xn) (n+k-1+n+k-2+…+n)(Tx0,x0) (kN)

x x0 x
[ f ( t , y1 ( t )) f ( t , y 2 ( t ))]dt f ( t , y1 ( t )) f ( t , y 2 ( t )) dt k y1 ( t ) y 2 ( t ) dt
x[ x 0 , x 0 ] x 0
max max
y ( x ) lim yn ( x ), y ( x ) (Tyபைடு நூலகம்)( x ) y0 f (t , y (t ))dt , y ( x0 ) y0 ,
n x0
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例4.3 设有线性方程组 如果对每个i,
xi aij x j bi , (i 1,2,...n)
x lim x n
n
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例4.3 设f(x,y)在R2上连续, 且关于y满足Lipschitz条件： f(x, y1)-f(x,y2)ky1-y2 (k>0),则微分方程初值问题： 有唯一解。
dy f ( x , y ), dx y
x0
y0
证 R2完备, 且y(x)在R上连续, >0, 使=k<1, 令 C[x0-,x0+]={y=y(x)x[x0-, x0+], y(x)连续}， 则C[x0-, x0+]按如下距离(y1,y2)是完备的距离空间：
j 1
n
max
1 i n

n
j 1 n
a ij ( x a ij
(1 ) j
x
(2) j
) max
1 i n

n
j 1
a ij x (j1 ) x (j 2 )
max 1 i n

j 1
(1 ) (2) max x (j1 ) x (j 2 ) ( x x ) 1 j n
x
x[ x 0 , x 0 ] x 0 x[ x 0 , x 0 ]
k
max
y1 ( t ) y 2 ( t ) x x 0 ( k 1)
x
k ( y1 , y 2 ) ( y1 , y 2 )
T是压缩映射唯一y(x)C(x0-,x0+), 使
j 1
n
( Tx
(1 )
, Tx
(2) n
) ( y (1 ) , y ( 2 ) ) max y i(1 ) y i( 2 )
1 i n (1 ) j

max ( a ij x
1 i n j 1
b i ) ( a ij x (j 2 ) b i )
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注 1) 压缩映射原理给出了映射的不动点存在的条件； 2) 压缩映射原理提供了映射不动点的求法—迭代法: x0X, 令xn=Txn-1, 则 xn=Tnx0 (n=1,2,…), x=lim xn (n). 3)压缩映射原理给出了近似解的误差估计公式： n
( x , x n ) lim ( x n k , x n ) (Tx 0 , x 0 ) k 1
j 1 j 1
n
n
x Ax b Tx

则T是Rn到Rn的映射, 可以证明，T是压缩映射，因而存在唯一 不动点x, 使得 x=Tx=Ax+b, 即原方程组有唯一解。 事实上，x(k)=(x1(k) ,x2(k) ,…,xn(k) )Rn, k=1,2.
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i 1, 2 ,..., n , a ij 1
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推论4.2 设X是完备距离空间，T：XX，如果存在常数 (0<1)及正整数n0 ，使对任何x, yX，都有 ( T n x , T n ) ( x , y ) 则T存在唯一不动点x，即x=Tx. (其中定义：T2x=T(Tx), T3x=T(T2x),…,Tnx=T(Tn-1x),…)
x lim x n
n
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例4.2 设f(x)在闭区间[x0-h,x0+h]上可导, 且f’(x)<1, 又f(x0)x0(1-)h, 则f(x)在[x0-h,x0+h]上有唯一的不动点x, 且x可由迭代 xn+1=Txn (n=1,2,…) (x0[x0-h,x0+h])迭代求得. 证 （结合推论4.1及例4.1即得证。） R是完备距离空间，函数f(x)是R到R的一个映射， x1,x2[x0-h, x0+h], 由拉格朗日中值定理, 有 (f(x1), f(x2))=f(x1)-f(x2)=f’()x1-x2(x1,x2) f: RR是压缩映射 又(f(x0), x0)=f(x0)-x0(1-)h f(x)在[x0-h, x0+h]上有唯一的不动点x (推论4.2)， 且对于迭代xn+1=Txn，有
x=Tx
x0 , xn+1=Txn
~ x T~ x
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一、压缩映射及压缩映射原理 1.压缩映射及其不动点的定义 定义6.1 (压缩映射) 设X是距离空间，T：XX是X上的自映 射，如果存在0<<1，对x,yX，都有 (Tx,Ty)(x,y)， 则称T是X上的一个压缩映射。 定理1 压缩映射是连续映射 事实上，{xn}X, xnxX, T:XX是压缩映射 (Txn, Tx)(xn,x)0 (n)T是连续映射
0 0
证 x , y X , n 0 N , [ 0 ,1), (T n x , T n y ) ( x , y )
0 0
n0 T是 X上的压缩映射
唯一 x X , 使 T n 0 x x T n0 (Tx ) T n0 1 x T (T n0 x ) Tx
j 1
n
a
j 1
n
ij
1, 则该方程组有唯一解。
x i y i 是完备的距离空间. 证 Rn按距离 ( y 1 , y 2 ) max 1 i n
xi aij x j bi , (i 1,2,...n) xi aij x j bi , (i 1,2,...n)