压缩映射原理的性质和应用摘要本文较有系统的研究了压缩映射原理及其一些应用，由于压缩映射原理是属于不动点理论中的一类原理，所以有许多不同的形式，本文主要利用在常规度量空间中讨论压缩映射原理的方法，在概率度量空间中讨论压缩映射原理。
主要内容如下：第一章，是绪论部分，首先讲了我之所以写这篇文章的原因，然后是本文所研究问题的历史背景和发展情况。
第二章，介绍压缩映射原理的最基本的形式，即Banach压缩映射原理，通过对其定理内容和证明方法的分析，深刻认识了Picard迭代方法在证明中起到的重要作用，总结出了一套通用的方法证明这类定理，还找了一个例子，用总结出的方法进行了证明。
第三章，用第一章总结出的方法研究了压缩映射原理更复杂的形式，随着研究问题的复杂，也使第一章总结出的方法变得更加完善。
第四章，把前几章得到的结论和方法应用到了微分方程和微分方程组的解的存在唯一性上。
虽然只有两个例子，但是获得方法和思想可以用到许多其他的例子上。
第五章，引入概率度量空间的概念，和其中一系列与压缩映射原理有关的概念，结合概率度量空间的一些特殊性质，用前几章的讨论方法，在概率度量空间上讨论压缩映射原理，依次讨论了含随机数的压缩映射原理，在概率度量空间上添加一些条件后的基本压缩映射原理，非线性的压缩映射原理及应用等。
关键词：压缩映射；不动点；概率度量空间；非线性微分方程ABSTRACTIn this paper, a systematic study of the compression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space compression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows:The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of the problem.The second chapter, this paper introduces the basic form of compression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof.The third chapter, in the first chapter summarizes the method of compression mapping principle is studied in the form of more complex, as the research problem of complex, also made the first chapter summarizes the methods become more perfect.The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples.The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, combined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, compression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the compression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic compression mapping principle, the principle and application of the compression of nonlinear mapping, etc.Key words: compression mapping; The fixed point. Probabilistic metric space; The nonlinear differential equation目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................................. I I第一章绪论 (1)1.1写作动机 (1)1.2不动点理论背景知识，历史渊源 (2)1.3压缩映射原理的简介 (3)第二章Banach压缩映射定理的证明思路探究 (6)2.1定理内容和证明 (6)2.2一个例子 (6)2.3本章总结 (8)第三章Banach压缩映射原理的推广 (10)3.1推广的背景： (10)3.2压缩映射原理的一种推广形式及其证明 (10)3.3本章总结 (12)第四章压缩映射原理的应用举例 (13)4.1一类简单积分方程的解的存在与唯一性的证明 (13)4.2积分方程组的解的存在与唯一性证明 (14)4.3本章总结 (16)第五章概率度量空间中的压缩映射原理 (17)5.1基本概念的构造 (17)5.2随机压缩映射原理的构造 (17)5.3概率度量空间的背景知识 (19)5.4概率度量空间中的基本概念 (19)5.5：t 范数的概念及其性质 (21)5.6概率度量空间上的压缩映射原理 (21)5.7概率度量空间上非线性的压缩映射原理 (24)5.8概率度量空间上的压缩映射原理的应用 (26)5.9本章总结 (26)结论 (28)参考文献 (29)第一章绪论1.1写作动机我第一次接触压缩映射原理是在张庆恭和林渠源老师所编写的泛函分析的书上，当时书中应用压缩映射原理瞬间证明出了常微分方程中当时分五步证明的解的存在唯一性定理和数学分析中的隐函数存在定理，这使当时的我感到非常吃惊，在常微分方程和数学分析书中对这两个定理的证明中似乎看不到这两个定理有什么联系，但是一旦应用上了压缩映射原理，就找到了它们的共同点。
另外我在考研究生参加复试的时候，当时一位老师问我一个问题，问题是这样的：在旅游景点甚至在学校内的大门口经常会见到有平面的小地图，由此请问说明在小地图上的一点适合大地图上的一点是重合的。
由此我觉得我和压缩映射原理十分有缘，也对这个定理产生了浓厚的兴趣。
要讨论这个定理首先要从它的证明说起，第一次见到压缩映射原理的证明也是在泛函分析的书上，但是书上并没有严格的证明，至少我是接受不了，其中有一个关键步骤是极限要和映射交换顺序，在数学分析中，极限和函数交换顺序是要有条件限制的，比如函数是连续的，当然现在我已经用其他的方法证明出极限与压缩映射是可以交换的了，由此得到了一个完善的证明压缩映射原理的方法。
事实上，这个证明方法中涉及到的迭代法在数值分析课程中也有提到，可以构造一系列迭代关系，从而去求得方程的近似解等数值分析的问题，这也算是由压缩映射原理得到的一个非常重要的应用吧。
证明了压缩映射原理后，下面的问题自然是推广压缩映射原理，也可以说是压缩映射原理推论吧，就像数学分析中将洛尔定理推广到拉格朗日定理，再将拉格朗日定理推广到柯西定理那样，在证明推广的定理时，证明的方法和最开始的压缩映射原理非常相似，至少在大的方向上是一样的，根据具体的条件会有所差异。
后来进行深入的了解我发现之前的压缩映射原理另一个名称是Banach不动点原理，也就是说不动点定理有很多很多，应用也更是千变万化，压缩映射原理只是其中的一种类型，也就是压缩型的不动点原理，，即使是压缩型的不动点原理也有很多很多中，形式由线性的可以推广到非线性的，然后再到抽象型的，但基本都是在最初的压缩映射原理的基础上，将一些定义在新的形式下重新定义，同样的大思路进行新的压缩映射原理的证明。
根据我的深入了解压缩映射原理在概率方向也有着非常大的应用，例如利用概率的知识模仿度量空间定义概率度量空间，定义概率中的范数t 范数，由此得到概率空间上的不动点原理。